Свойства законов распределения случайных величин

Главная / Свойства законов распределения случайных величин

Свойства законов распределения случайных величин

Раздел 6. Типичные законы распределения и числовые характеристики случайных величин

Вид функций F(x), р(х), или перечисление р(хi) называют законом распределения случайной величины. Хотя можно представить себе бесконечное разнообразие случайных величин, законов распределения гораздо меньше. Во-первых, различные случайные величины могут иметь совершенно одинаковые законы распределения. Например: пусть y принимает всего 2 значения 1 и -1 с вероятностями 0.5; величина z = -y имеет точно такой же закон распределения.
Во-вторых, очень часто случайные величины имеют подобные законы распределения, т.е., например, р(х) для них выражается формулами одинакового вида, отличающимися только одной или несколькими постоянными. Эти постоянные называются параметрами распределения .

Хотя в принципе возможны самые разные законы распределения, здесь будут рассмотрены несколько наиболее типичных законов. Важно обратить внимание на условия, в которых они возникают, параметры и свойства этих распределений.

1 . Равномерное распределение
Так называют распределение случайной величины, которая может принимать любые значения в интервале (a,b), причем вероятность попадания ее в любой отрезок внутри (a,b) пропорциональна длине отрезка и не зависит от его положения, а вероятность значений вне (a,b) равна 0.


Рис 6.1 Функция и плотность равномерного распределения

Параметры распределения: a , b

2 . Нормальное распределение
Распределение с плотностью, описываемой формулой

(6.1)

называется нормальным. (Рисунок 6.2)
Параметры распределения: a , σ


Рисунок 6.2 Типичный вид плотности и функции нормального распределения

3 . Распределение Бернулли
Если производится серия независимых испытаний, в каждом из который событие А может появиться с одинаковой вероятностью р, то число появлений события есть случайная величина, распределенная по закону Бернулли , или по биномиальному закону (другое название распределения) .

(6.2)

Здесь n — число испытаний в серии, m — случайная величина (число появлений события А), Рn(m) — вероятность того, что А произойдет именно m раз, q = 1 — р (вероятность того, что А не появится в испытании).

Пример 1: Кость бросают 5 раз, какова вероятность того, что 6 очков выпадет дважды ?
n = 5, m = 2, p = 1/6, q = 5/6

Параметры распределения: n , р

4 . Распределение Пуассона
Распределение Пуассона получается как предельный случай распределения Бернулли, если устремить р к нулю, а n к бесконечности, но так, чтобы их произведение оставалось постоянным: nр = а. Формально такой предельный переход приводит к формуле

(6.3)

Параметр распределения: a

Распределению Пуассона подчиняются очень многие случайные величины, встречающиеся в науке и практической жизни.

Пример 2: число вызовов, поступающих на станцию скорой помощи в течение часа.
Разобьем интервал времени Т (1 час) на малые интервалы dt, такие что вероятность поступления двух и более вызовов в течение dt пренебрежимо мала, а вероятность одного вызова р пропорциональна dt: р = μdt ;
будем рассматривать наблюдение в течение моментов dt как независимые испытания, число таких испытаний за время Т: n = T / dt;
если предполагать, что вероятности поступления вызовов не меняются в течение часа, то полное число вызовов подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = T / dt, р = μdt . Устремив dt к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р = μТ.

Пример 3: число молекул идеального газа в некотором фиксированном объеме V.
Разобьем объем V на малые объемы dV такие, что вероятность нахождения двух и более молекул в dV пренебрежимо мала, а вероятность нахождения одной молекулы пропорциональна dV: р = μdV; будем рассматривать наблюдение каждого объемчика dV как независимое испытание, число таких испытаний n=V/dV; если предполагать, что вероятности нахождения молекулы в любом месте внутри V одинаковы, полное число молекул в объеме V подчиняется закону Бернулли с параметрами: n = V / dV, р = μdV. Устремив dV к нулю, получим, что n стремится к бесконечности, а произведение n×р остается постоянным: а = n×р =μV.

Числовые характеристики случайных величин

1 . Математическое ожидание (среднее значение)

Определение:
Математическим ожиданием называется
— для дискретной случайной величины: &nbsp (6.4)

Сумма берется по всем значениям, которые принимает случайная величина. Ряд должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

— для непрерывной случайной величины: ; &nbsp (6.5)

Интеграл должен быть абсолютно сходящимся (в противном случае говорят, что случайная величина не имеет математического ожидания)

Свойства математического ожидания:

a . Если С — постоянная величина, то МС = С
b . МСх = СМх
c . Математическое ожидание суммы случайных величин всегда равно сумме их математических ожиданий: М(х+y) = Мх + Мy d . Вводится понятие условного математического ожидания. Если случайная величина принимает свои значения хi с различными вероятностями p(xi/Hj) при разных условиях Hj, то условное математическое ожидание определяется

как или ; &nbsp (6.6)

Если известны вероятности событий Hj, может быть найдено полное

математическое ожидание: ; &nbsp (6.7)

Пример 4: Сколько раз в среднем надо бросать монету до первого выпадения герба ? Эту задачу можно решать «в лоб»

dfe3300.karelia.ru

Законы распределения случайных величин и их применение

Теория вероятностей является одним из классических разделов математики. Она имеет длительную историю. Основы этого раздела науки были заложены великими математиками. Назову, например, Ферма, Бернулли, Паскаля. Позднее развитие теории вероятностей определились в работах многих ученых. Большой вклад в теорию вероятностей внесли ученые нашей страны: П.Л.Чебышев, А.М.Ляпунов, А.А.Марков, А.Н.Колмогоров. Вероятностные и статистические методы в настоящее время глубоко проникли в приложения. Они используются в физике, технике, экономке, биологии и медицине. Особенно возросла их роль в связи с развитием вычислительной техники.

Например, для изучения физических явлений производят наблюдения или опыты. Их результаты обычно регистрируют в виде значений некоторых наблюдаемых величин. При повторении опытов мы обнаруживаем разброс их результатов. Например, повторяя измерения одной и той же величины одним и тем же прибором при сохранении определенных условий (температура, влажность и т.п.), мы получаем результаты, которые хоть немного, но все же отличаются друг от друга. Даже многократные измерения не дают возможности точно предсказать результат следующего измерения. В этом смысле говорят, что результат измерения есть величина случайная. Еще более наглядным примером случайной величины может служить номер выигрышного билета в лотерее. Можно привести много других примеров случайных величин. Все же и в мире случайностей обнаруживаются определенные закономерности. Математический аппарат для изучения таких закономерностей и дает теория вероятностей. Таким образом, теория вероятностей занимается математическим анализом случайных событий и связанных с ними случайных величин.

1. Случайные величины

Понятие случайной величины является основным в теории вероятностей и ее приложениях. Случайными величинами, например, являются число выпавших очков при однократном бросании игральной кости, число распавшихся атомов радия за данный промежуток времени, число вызовов на телефонной станции за некоторый промежуток времени, отклонение от номинала некоторого размера детали при правильно налаженном технологическом процессе и т. д.

Таким образом, случайной величиной называется величина, которая в результате опыта может принимать то или иное значение, причем заранее известно какое именно.

Случайные величины можно разделить на две категории.

Дискретной случайной величиной называется такая величина, которая в результате опыта может принимать определенные значения с определенной вероятностью, образующие счетное множество (множество, элементы которого могут быть занумерованы).

Это множество может быть как конечным, так и бесконечным.

Например, количество выстрелов до первого попадания в цель является дискретной случайной величиной, т.к. эта величина может принимать и бесконечное, хотя и счетное количество значений.

Непрерывной случайной величиной называется такая величина, которая может принимать любые значения из некоторого конечного или бесконечного промежутка.

Очевидно, что число возможных значений непрерывной случайной величины бесконечно.

Для задания случайной величины недостаточно просто указать ее значение, необходимо также указать вероятность этого значения.

2. Равномерное распределение

Пусть сегмент оси Ox есть шкала некоторого прибора. Допустим, что вероятность попадания указателя в некоторый отрезок шкалы пропорциональна длине этого отрезка и не зависит от места отрезка на шкале. Отметка указателя прибора есть случайная величина могущая принять любое значение из сегмента . Поэтому

Если, далее, и ( 0. Смысл параметров a и будет установлен в дальнейшем. Исходя из связи между плотностью распределения и функцией распределения , имеем

График функции симметричен относительно прямой x=a. Несложные исследования показывают, что функция достигает максимума при x=a, а ее график имеет точки перегиба при и . При график функции асимптотически приближается к оси Ox. Можно показать, что при увеличении кривая плотности распределения становится более пологой. Наоборот, при уменьшении график плотности распределения сжимается к оси симметрии. При a=0 осью симметрии является ось Oy. На рис. 3 изображены два графика функции y=. График I соответствует значениям a=0, =1, а график II — значениям a=0, =1/2.

Покажем, что функция удовлетворяет условию, т.е. при любых a и выполняется соотношение

В самом деле, сделаем в этом интеграле замену переменной, полагая . Тогда

В силу четности подинтегральной функции имеем

В результате получим

(4)

Найдем вероятность . По формуле имеем

Сделаем в этом интеграле замену переменной, снова полагая

Тогда , и
(5)

Как мы знаем, интеграл не берется в элементарных функциях. Поэтому для вычисления определенного интеграла (5) вводится функция (6)
называемая интегралом вероятностей. Для этой функции составлены таблицы ее значений для различных значений аргумента (см. табл. II Приложения). Используя формулу (6) получим

(7)

Легко показать, что функция Ф(х) (интеграл вероятностей) обладает следующими свойствами.

2°. ; при величина практически равна 1/2 (см. табл. II).

3°. =- т.е. интеграл вероятностей является нечетной функцией.

График функции изображен на рис. 4.

Таким образом, если случайная величина нормально распределена с параметрами a и , то вероятность того, что случайная величина удовлетворяет неравенствам , определяется соотношением (7).

Пусть . Найдем вероятность того, что нормально распределенная случайная величина отклонится от параметра a по абсолютной величине не более, чем на , т.е. .

Так как неравенство равносильно неравенствам то полагая в соотношении (7) , получим

Вследствие того, что интеграл вероятностей — нечетная функция, имеем (8)

Пример 1. Пусть случайная величина подчиняется нормальному закону распределения вероятностей с параметрами a=0, =2.

1) ;

2) ;

1) Используя формулу (7), имеем

Из табл. II находим, что Ф(1)=0,34134, Ф(1,5)=0,43319. Следовательно 3

2) Так как a=0, то . По формуле (8) находим

Пример 2. В каких пределах должна изменяться случайная величина, подчиняющаяся нормальному закону распределения, чтобы
)=0,9973

Решение: По формуле (8) имеем

Следовательно, . Из табл. II находим, что этому значению соответствует =3,откуда .

Из последнего примера следует, что если случайная величина подчиняется нормальному закону распределения, то можно утверждать с вероятностью, равной 0,9973, что случайная величина находится в интервале . Так как данная вероятность близка к единице, то можно считать, что значения нормально распределенной случайной величины практически не выходят за границы интервала Этот факт называют правилом трех сигм.

6.Условные законы распределения

Как было показано выше, зная совместный закон распределения можно легко найти законы распределения каждой случайной величины, входящей в систему.

Однако, на практике чаще стоит обратная задача – по известным законам распределения случайных величин найти их совместный закон распределения.

В общем случае эта задача является неразрешимой, т.к. закон распределения случайной величины ничего не говорит о связи этой величины с другими случайными величинами.

Кроме того, если случайные величины зависимы между собой, то закон распределения не может быть выражен через законы распределения составляющих, т.к. должен устанавливать связь между составляющими.

Все это приводит к необходимости рассмотрения условных законов распределения.

Распределение одной случайной величины, входящей в систему, найденное при условии, что другая случайная величина приняла определенное значение, называется условным законом распределения.

Условный закон распределения можно задавать как функцией распределения так и плотностью распределения.

Условная плотность распределения вычисляется по формулам:

Условная плотность распределения обладает всеми свойствами плотности распределения одной случайной величины.

Таблица I: Значения функции:

works.doklad.ru

Основные законы распределения случайных величин

Нормальное распределение

Непрерывная случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и а, если ее плотность вероятности /(*) имеет вид

(2.20)

Кривая нормального распределения /(*) (нормальная кривая, или кривая Гаусса) приведена на рис. 2.1.

Нормальный закон распределения случайной величины с параметрами а = 0 и а = 1 называется стандартным или нормированным, а соответствующая нормальная кривая – стандартной или нормированной.

Математическое ожидание случайной величины X, распределенной по нормальному закону, равно параметру а этого закона, а ее дисперсия – квадрату параметра σ, т. е.

Рис. 2.1. Кривая нормального распределения

Наиболее важные свойства случайной величины, распределенной

по нормальному закону:

1. Вероятность попадания случайной величины в интервал

(2.21)

где

2. Вероятность того, что отклонение случайной величины X, распределенной по нормальному закону, от математического ожидания а не превысит по абсолютной величине величину‘, равна:

(2.22)

где

3. «Правило трех сигм». Если случайная величина X распределена нормально (с параметрами а и ст), то практически достоверно, что абсолютная величина ее отклонения от математического ожидания не превосходит утроенного среднего квадратического отклонения, т. е.

(2.23)

4. Если случайная величина X имеет нормальный закон распределения с параметрами а и, то практически достоверно, что ее значения заключены в интервале

5. Коэффициент асимметрии и эксцесс нормально распределенной случайной величины равны нулю [18].

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике. Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы при весьма часто встречающихся типичных условиях.

studme.org

1.6. Случайные величины и функции распределения

Понятие случайной величины является одним из основных понятий теории вероятностей. Под данным термином подразумевается величина, значения которой зависят от случая и для которой определена функция распределения вероятностей. Функцией распределения вероятностей случайной величины ξ называется вероятность того, что ξ примет значение, меньшее, чем произвольное число х:

Случайные величины принято обозначать греческими буквами, а принимаемые ими значения – строчными латинскими [23]. В зависимости от характера принимаемых значений различают 2 основных класса случайных величин: дискретные и непрерывные.

Дискретные случайные величины могут принимать только конечное или счетное множество значений. Соответствие между всеми возможными значениями дискретной случайной величины и их вероятностями называется законом распределения данной случайной величины.

Пусть ξ – дискретная случайная величина, единственно возможными значениями которой являются числа x1,x2. xn. Обозначим через

вероятности этих значений. Тогда закон распределения случайной величины ξ задает таблица

Непрерывной называется случайная величина, все возможные значения которой целиком заполняют некоторый конечный или бесконечный промежуток числовой оси. Для любой непрерывной случайной величины существует неотрицательная функция f(x), при любых х удовлетворяющая равенству: $F(x) = \int\limits_< - \infty >^x $.

Функция f(x) называется плотностью распределения вероятностей непрерывной случайной величины.

Плотность распределения вероятностей обладает следующими свойствами:
1. f(x)≥0.
2. При любых x1 и x2 удовлетворяет равенству $P\left\ < <\leqslant \xi 2 .

Таким образом, математическое ожидание представляет собой характеристику центральной тенденции (типичного значения) случайной величины, а дисперсия – меры ее рассеяния.

В заключение следует также охарактеризовать независимые и зависимые случайные величины. Две случайные величины считаются независимыми, если возможные значения и закон распределения каждой из них один и тот же при любом выборе допустимых значений другой. В противном случае случайные величины называются зависимыми. Несколько случайных величин являются взаимно независимыми, если возможные значения и законы распределения любой из них не зависят от того, какие возможные значения приняли остальные случайные величины.

journal.forens-lit.ru

Электронная библиотека

Случайной величиной называют такую величину, значения которой изменяются при повторении опытов некоторым, заранее не предсказуемым образом. Для случайной величины нельзя заранее точно сказать, какое конкретное значение она примет в данном опыте, но можно указать закон ее распределения. Закон распределения считается заданным, если:

1) указано множество возможных значений случайной величины;

2) указан способ определения вероятности попадания случайной величины в любую область множества возможных значений.

Вероятность попадания в заданную область может быть определена следующим образом:

Здесь Nm – количество наблюдений случайной величины, оказавшихся в заданной области; N – общее количество наблюдений.

Аналитическими выражениями закона распределения случайной величины являются функции распределения вероятностей – интегральная и дифференциальная.

Интегральная функция распределения F(x) случайной величины X показывает вероятность того, что случайная величина не превышает некоторого заданного или текущего значения x, т.е.

Следовательно, вероятность того, что значение случайной величины Х заключено между и , равна разности значений функции распределения, вычисленных в этих двух точках:

Интегральная функция обладает следующими свойствами:

Вид функции распределения F(x) изображен на рис. 1.1.

Если функция F(x) дифференцируема для всех значений случайной величины Х, то закон распределения вероятностей может быть выражен в аналитической форме также с помощью дифференциальной функции распределения вероятностей:

Таким образом, значение функции f(x) приближенно равно отношению вероятности попадания случайной величины в интервал к длине ( ) этого интервала, когда – бесконечно малая величина. Поэтому функцию f(x) называют также функцией плотности распределения вероятностей.

Основные свойства функции f(x):

(z – переменная интегрирования).

С помощью дифференциальной функции распределения вычисляется вероятность нахождения случайной величины в любой области из множества ее возможных значений. В частности,

Для непрерывной случайной величины вероятность можно определить как относительную долю площади под кривой плотности распределения вероятностей f(x). Так, например, вероятность того, что случайная величина Х примет значение:

1) меньшее , равна относительной доле площади под кривой f(x) слева от точки (рис. 1.2, а);

2) большее , равна относительной доле площади под кривой f(x) справа от точки (рис. 1.2, б);

3) заключенное между и , равна относительной доле площади под кривой f(x) между точками и (рис. 1.2, в).

Как интегральная, так и дифференциальная функции распределения являются исчерпывающими вероятностными характеристиками случайной величины. Однако некоторые основные свойства случайных величин могут быть описаны более просто, с помощью определенных числовых параметров.

Наиболее часто на практике используются два параметра, характеризующие центр рассеяния (центр распределения) случайной величины и степень ее рассеяния вокруг этого центра. Наиболее распространенной характеристикой центра распределения является математическое ожидание (mх) случайной величины Х, часто называемое также генеральным средним значением:

Степень рассеяния случайной величины Х относительно mx может быть охарактеризована с помощью генеральной дисперсии :

Если f(x) все в большей степени концентрируется вблизи mx, то значения уменьшаются.

Зачастую для описания практической ситуации оказывается необходимым использование одновременно нескольких (в простейшем случае – двух) случайных величин. Для задания вероятностных свойств двух случайных величин X, Y используются двумерные (совместные) функции распределения вероятностей: интегральная F(x,y) и дифференциальная f(x,y).

Функция F(x,y), характеризующая вероятность того, что первая случайная величина принимает некоторое значение, меньшее или равное х, а вторая – значение, меньшее или равное y, называется интегральной функцией совместного распределения двух случайных величин:

Как и для одной непрерывной случайной величины, если функция F(x,y) достаточно гладкая, то ее можно продифференцировать, в результате чего получится двумерная дифференциальная функция распределения вероятностей (двумерная плотность вероятности):

Функция f(x, y)обладает следующими свойствами:

( и – переменные интегрирования).

Вероятность того, что случайные величины X, Y одновременно попадут в некоторую произвольную область , составляет:

По известной двумерной плотности f(x,y) легко найти частные (одномерные) функции распределения f(x), f(y) каждой случайной величины:

Две случайные величины X и Y называются независимыми, если

Как и в одномерном случае, основные свойства двумерной совокупности величин X, Y могут быть охарактеризованы с помощью ряда числовых параметров. При этом в качестве наиболее употребительных параметров, описывающих поведение каждой из случайных величин в отдельности, используются математическое ожидание и дисперсия соответствующей случайной величины: mx, my, , .

Кроме параметров для двумерной совокупности могут быть использованы параметры, характеризующие степень взаимозависимости переменных X и Y. Простейшими из них являются:

1) ковариация двух случайных величин (называемая также корреляционным моментом):

2) а также нормированный показатель связи – коэффициент корреляции

По своему физическому смыслу коэффициент корреляции является далеко не исчерпывающей характеристикой статистической связи линейной зависимости между Х и Y. Коэффициент корреляции меняется в пределах :

· если , то случайные величины полностью положительно коррелированны, т.е. , где – постоянные, причем :

· если же , то случайные величины полностью отрицательно коррелированны, т.е. ;

· если , то говорят, что случайные величины Х и Y не коррелированны: .

В том случае, когда Х и Y – независимые случайные величины, для них ; следовательно, они и не коррелированны. Обратное утверждение в общем случае неверно: Х и Y могут быть связаны функционально, но все же иметь нулевой коэффициент корреляции (при этом, конечно, функциональная связь должна быть нелинейной).

Все описанные функции и связанные с ними параметры являются теоретическими, характеризующими определенные свойства изучаемого объекта. На практике почти

всегда эти характеристики неизвестны, и возникает задача экспериментального (эмпирического) определения тех или иных характеристик случайных величин на основе наблюдений.

libraryno.ru

Смотрите так же:

  • Доверенность от предпринимателя в суд Доверенность от ИП Обновление: 6 июля 2017 г. Образец доверенности от ИП в арбитражный суд Индивидуальные предприниматели, как и граждане, а также юридические лица, могут вести свои дела лично либо через своих представителей. Представительство от имени индивидуального предпринимателя […]
  • Субсидии для малого бизнеса в санкт-петербурге 2018 Субсидии для малого бизнеса в санкт-петербурге 2018 Финансовая поддержка субъектов малого и среднего предпринимательства предоставляется в форме субсидий на возмещение понесенных затрат субъектов малого и среднего предпринимательства. В 2018 году субсидии будут предоставляться по шести […]
  • Патент резины морозостойкая резина на основе пропиленоксидного каучука и природных бентонитов Изобретение относится к резиновой промышленности, в частности к разработке эластомерных материалов уплотнительного назначения с высоким уровнем морозостойкости и низким значением остаточной деформации сжатия. […]
  • Правило по причастию 6 1. Причастие как особая форма глагола. Правила Причастие – это особая форма глагола, которая обозначает признак предмета по действию и отвечает на вопросы какой? какая? какое? какие? Например: сверкавший, плачущая, палящее, переливающиеся. Причастие совмещает в себе признаки глагола и […]
  • Правила заполнения 210 формы на 2018 год Налог на имущество: декларация 2018 Актуально на: 12 января 2018 г. Декларация по налогу на имущество (бланк) Приказом ФНС от 31.03.2017 № ММВ-7-21/[email protected] утверждена новая декларация по налогу на имущество 2018. Ее необходимо сдать за 2017 год всем плательщикам налога на имущество не […]
  • Материнский капитал на ипотеку до трех лет На что и как использовать материнский капитал до 3 лет? Как использовать материнский капитал до 3 лет — вопрос правомерный. Законодательство действительно допускает вероятность использования средств этой государственной помощи ранее 3 лет со дня появления ребенка в семье. Но варианты […]
  • Оплата авансового платежа по налогу на имущество Расчет авансовых платежей по налогу на имущество Актуально на: 3 октября 2017 г. Налоговый расчет по авансовому платежу по налогу на имущество организаций Мы рассказывали в нашей консультации о новой форме налоговой декларации по налогу на имущество организаций, которую нужно будет […]
  • Приказ минздрав рф 302н от 12042011 N 2. Перечень работ, при выполнении которых проводятся обязательные предварительные и периодические медицинские осмотры (обследования) работников Переченьработ, при выполнении которых проводятся обязательные предварительные и периодические медицинские осмотры (обследования) работников С […]