Производная таблица производных и правила дифференцирования

Главная / Производная таблица производных и правила дифференцирования

Что такое производная?

Производная — одно из главных понятий высшей математики. В этом уроке мы познакомимся с этим понятием. Именно познакомимся, без строгих математических формулировок и доказательств.

Это знакомство позволит:

— понимать суть несложных заданий с производной;

— успешно решать эти самые несложные задания;

— подготовиться к более серьёзным урокам по производной.

Сначала — приятный сюрприз.)

Строгое определение производной основано на теории пределов и штука достаточно сложная. Это огорчает. Но практическое применение производной, как правило, не требует таких обширных и глубоких знаний!

Для успешного выполнения большинства заданий в школе и ВУЗе достаточно знать всего несколько терминов — чтобы понять задание, и всего несколько правил — чтобы его решить. И всё. Это радует.

Приступим к знакомству?)

Термины и обозначения.

В элементарной математике много всяких математических операций. Сложение, вычитание умножение, возведение в степень, логарифмирование и т.д. Если к этим операциям добавить ещё одну, элементарная математика становится высшей. Эта новая операция называется дифференцирование. Определение и смысл этой операции будут рассмотрены в отдельных уроках.

Здесь же важно понять, что дифференцирование — это просто математическая операция над функцией. Берём любую функцию и, по определённым правилам, преобразовываем её. В результате получится новая функция. Вот эта новая функция и называется: производная.

Дифференцирование — действие над функцией.

Производная — результат этого действия.

Так же, как, например, сумма — результат сложения. Или частное — результат деления.

Зная термины, можно, как минимум, понимать задания.) Формулировки бывают такие: найти производную функции; взять производную; продифференцировать функцию; вычислить производную и т.п. Это всё одно и то же. Разумеется, бывают и более сложные задания, где нахождение производной (дифференцирование) будет всего лишь одним из шагов решения задания.

Обозначается производная с помощью штришка вверху справа над функцией. Вот так: y’ или f'(x) или S'(t) и так далее.

Читается игрек штрих, эф штрих от икс, эс штрих от тэ, ну вы поняли. )

Штрих также может обозначать производную конкретной функции, например: (2х+3)’, (x 3 )’, (sinx)’ и т.д. Часто производная обозначается с помощью дифференциалов, но такое обозначение в этом уроке мы рассматривать не будем.

Предположим, что понимать задания мы научились. Осталось всего ничего — научиться их решать.) Напомню ещё раз: нахождение производной — это преобразование функции по определённым правилам. Этих правил, на удивление, совсем немного.

Чтобы найти производную функции, надо знать всего три вещи. Три кита, на которых стоит всё дифференцирование. Вот они эти три кита:

1. Таблица производных (формулы дифференцирования).

3. Производная сложной функции.

Начнём по порядку. В этом уроке рассмотрим таблицу производных.

Таблица производных.

В мире — бесконечное множество функций. Среди этого множества есть функции, которые наиболее важны для практического применения. Эти функции сидят во всех законах природы. Из этих функций, как из кирпичиков, можно сконструировать все остальные. Этот класс функций называется элементарные функции. Именно эти функции и изучаются в школе — линейная, квадратичная, гипербола и т.п.

Дифференцирование функций «с нуля», т.е. исходя из определения производной и теории пределов — штука достаточно трудоёмкая. А математики — тоже люди, да-да!) Вот и упростили себе (и нам) жизнь. Они вычислили производные элементарных функций до нас. Получилась таблица производных, где всё уже готово.)

Вот она, эта табличка для самых популярных функций. Слева — элементарная функция, справа — её производная.

helpmatan.ru

Правила дифференцирования. Производная произведения функций.

Дифференцирование – определение производных и дифференциалов всех порядков от функции одной переменной и частных производных и дифференциалов, кроме того, полных дифференциалов от функций большинства переменных.

Доказательство правила дифференцирования произведения 2-х функций:

Записываем предел отношения приращения произведения функций к приращению аргумента. Учитываем, что:

и

(приращение функции стремится к 0 при приращении аргумента, который стремится к 0).

Теперь рассмотрим на нескольких примерах вышеуказанное правило.

.

В этом примере . Применим правило производной произведения:

Смотрим таблицу производных основных элементарных функций и находим решение:

.

В данном примере . Значит:

Теперь посмотрим на вариант определения производной произведения 3-х функций. По такой системе дифференцируют произведение 4-х, и 5-ти, и 25-ти функций.

.

Исходим из правила дифференцирования произведения 2-х функций. Функцией f(x) считаем произведение (1+x)sinx, а функцией g(x) возьмем lnx:

Что бы определить снова применяем правило производной произведения:

Воспользуемся правилом производной суммы и таблицей производных:

Подставляем результат, который мы получили:

Из выше описанного видно, иногда нужно применять не только одно правило дифференцирования на одном примере. Тут важно делать все последовательно и внимательно.

Найдем производную функции:

.

Функция является разностью выражений и , значит:

В первом выражении выносим 2-йку за знак производной, а во 2-м выражении используем правило дифференцирования произведения:

www.calc.ru

Формулы дифференцирования

Таблица производных элементарных функций

Вычисление производной называют дифференцированием.

Обозначают производную $y’$ или $\frac$.

Для нахождения производной функции ее согласно определенным правилам превращают в другую функцию.

Рассмотрим таблицу производных. Обратим внимание на то, что функции после нахождения их производных преобразуются в другие функции.

Исключение составляет лишь $y=e^x$, превращающаяся сама в себя.

Правила дифференцирования

Чаще всего при нахождении производной требуется не просто посмотреть в таблицу производных, а вначале применить правила дифференцирования, и только потом использовать таблицу производных элементарных функций.

1. Постоянная выносится за знак производной

Продифференцировать функцию $y=7x^4$.

Находим $y’=(7x^4 )’$. Выносим число $7$ за знак производной, получаем:

используем таблицу и находим значение производной степенной функции:

преобразуем результат к принятому в математике виду:

Ничего непонятно?

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

2. Производная суммы (разницы) равна сумме (разнице) производных:

Продифференцировать функцию $y=7+x-5x^3+4 \sin ⁡x-9\sqrt[5]+\frac<4> -11\cot x$.

отметим, что при дифференцировании все степени и корни необходимо преобразовать к виду $x^<\frac>$;

вынесем все постоянные за знак производной:

разобравшись с правилами, некоторые из них (например, как последние два) применяются одновременно во избежание переписывания длинного выражения;

мы получили выражение из элементарных функций, стоящих под знаком производной; воспользуемся таблицей производных:

преобразуем к виду, принятому в математике:

$=1-25x^4+4 \cos ⁡x-\frac<18><5\sqrt[5]>+\frac<12> +\frac<11><\sin^2 x>$ . Обратим внимание, что при нахождении результата принято слагаемые с дробными степенями преобразовать в корни, а с отрицательными – в дроби.

Лень читать?

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

3. Формула производной произведения функций:

Продифференцировать функцию $y=x^ <11>\ln⁡x$.

Сначала применим правило вычисления производной произведения функций, а затем используем таблицу производных:

4. Формула производной частного функций:

Продифференцировать функцию $y=\frac<3x-8>$.

по правилам приоритета математических операций сначала выполним деление, а потом сложение и вычитание, поэтому применим сначала правило вычисления производной частного:

применим правила производных суммы и разности, раскроем скобки и упростим выражение:

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь

spravochnick.ru

Решение производной для чайников: определение, как найти, примеры решений

Решать физические задачи или примеры по математике совершенно невозможно без знаний о производной и методах ее вычисления. Производная — одно из важнейших понятий математического анализа. Этой фундаментальной теме мы и решили посвятить сегодняшнюю статью. Что такое производная, каков ее физический и геометрический смысл, как посчитать производную функции? Все эти вопросы можно объединить в один: как понять производную?

Геометрический и физический смысл производной

Пусть есть функция f(x), заданная в некотором интервале (a, b). Точки х и х0 принадлежат этому интервалу. При изменении х меняется и сама функция. Изменение аргумента – разность его значений х-х0. Эта разность записывается как дельта икс и называется приращением аргумента. Изменением или приращением функции называется разность значений функции в двух точках. Определение производной:

Производная функции в точке – предел отношения приращения функции в данной точке к приращению аргумента, когда последнее стремится к нулю.

Иначе это можно записать так:

Какой смысл в нахождении такого предела? А вот какой:

Геометрический смысл производной: производная от функции в точке равна тангенсу угла между осью OX и касательной к графику функции в данной точке.

Физический смысл производной: производная пути по времени равна скорости прямолинейного движения.

Действительно, еще со школьных времен всем известно, что скорость – это частное пути x=f(t) и времени t. Средняя скорость за некоторый промежуток времени:

Чтобы узнать скорость движения в момент времени t0 нужно вычислить предел:

Кстати, о том, что такое пределы и как их решать, читайте в нашей отдельной статье.

Приведем пример, иллюстрирующий практическое применение производной. Пусть тело движется то закону:

Нам нужно найти скорость в момент времени t=2c. Вычислим производную:

Правила нахождения производных

Сам процесс нахождения производной называется дифференцированием. Функция, которая имеет производную в данной точке, называется дифференцируемой.

Как найти производную? Согласно определению, нужно составить отношение приращения функции и аргумента, а затем вычислить предел при стремящемся к нулю приращении аргумента. Конечно, можно вычислять все производные так, но на практике это слишком долгий путь. Все уже давно посчитано до нас. Ниже приведем таблицу с производными элементарных функций, а затем рассмотрим правила вычисления производных, в том числе и производных сложных функций с подробными примерами.

Кстати! Для наших читателей сейчас действует скидка 10% на любой вид работы

Правило первое: выносим константу

Константу можно вынести за знак производной. Более того — это нужно делать. При решении примеров по математике возьмите за правило — если можете упростить выражение, обязательно упрощайте.

Пример. Вычислим производную:

Правило второе: производная суммы функций

Производная суммы двух функций равна сумме производных этих функций. То же самое справедливо и для производной разности функций.

Не будем приводить доказательство этой теоремы, а лучше рассмотрим практический пример.

Найти производную функции:

Правило третье: производная произведения функций

Производная произведения двух дифференцируемых функций вычисляется по формуле:

Пример: найти производную функции:

Решение:

Здесь важно сказать о вычислении производных сложных функций. Производная сложной функции равна произведению производной этой функции по промежуточному аргументу на производную промежуточного аргумента по независимой переменной.

В вышеуказанном примере мы встречаем выражение:

В данном случае промежуточный аргумент – 8х в пятой степени. Для того, чтобы вычислить производную такого выражения сначала считаем производную внешней функции по промежуточному аргументу, а потом умножаем на производную непосредственно самого промежуточного аргумента по независимой переменной.

Правило четвертое: производная частного двух функций

Формула для определения производной от частного двух функций:

Мы постарались рассказать о производных для чайников с нуля. Эта тема не так проста, как кажется, поэтому предупреждаем: в примерах часто встречаются ловушки, так что будьте внимательны при вычислении производных.

С любым вопросом по этой и другим темам Вы можете обратиться к нашим авторам. За короткий срок мы поможем решить самую сложную контрольную и разобраться с заданиями, даже если Вы никогда раньше не занимались вычислением производных.

Иван Колобков, известный также как Джони. Маркетолог, аналитик и копирайтер компании Zaochnik. Подающий надежды молодой писатель. Питает любовь к физике, раритетным вещам и творчеству Ч. Буковски.

zaochnik.ru

Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной. Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции. Достаточное условие монотонности функции. Необходимое и достаточное условия экстремума.

Производная функции. Понятие производной. Геометрический смысл производной.
Физический смысл производной. Правила дифференцирования. Производная сложной функции.
Достаточное условие монотонности функции. Необходимое условие экстремума.
Достаточное условие экстремума.

Производная функции. Понятие производной, определение производной:

  • Производной (первой производной)f ‘ (x)функции f (x) в точке xo называется предел отношения
    • приращения функции Δ f (x) = f (x0 + Δx) — f (x0)
    • к приращению аргумента Δx при Δx→0,
    • если этот предел существует:
    • Второй производнойf » (x)функции f (x) в точке xo называется производная от производной f ‘ (x) в точке xo
    • Дифференцирование — это операция нахождения производной f ‘ (x)
    • Производная функции. Геометрический смысл производной:

    • Производная функции f (x) в точке xo равна угловому коэффициенту (тангенсу угла наклона) касательной прямой к графику функции y = f (x)в точке M0(x0,y0), то есть:
      • f ‘ (x0) = k, где k = tg α
    • Уравнение касательной к кривой y = f (x) в точкеx0 имеет вид:
      • y = f ‘ (x)(x-x0) + f(x0)
      • Производная функции. Физический смысл производной:

        • Если точка движется вдоль оси x и ее координата изменяется по закону x (t), то мгновенная скорость точки:
          • а укорение (мгновенное ускорение):
          • www.dpva.ru

            Смотрите так же:

            • Виды вакуумных коллекторов Солнечный коллектор - энергия Солнца в доме! СОЛНЕЧНЫЕ КОЛЛЕКТОРЫ. Обзор видов солнечных коллекторов. Достоинства и недостатки. Во время нынешнего кризиса у всех на слуху новое слово - «коллектор». Английское слово collect многозначно, но основное его значение - собирать что-либо. […]
            • Производная функции правила нахождения Найти производную: алгоритм и примеры решений Операция отыскания производной называется дифференцированием. В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента […]
            • Прокурор доклад Образовательный портал - все для студента юриста. I. Прокуратура РФ. 1. Прокуратура РФ: понятие и конституционный статус. Прокуратура РФ - единая федеральная централизованная система органов, осуществляющих от имени Российской Федерации надзор за соблюдением Конституции […]
            • Ходатайство на премию директору школы образец Составляем ходатайство на премию - образец Ходатайство на премию — это документ, на основании которого в дальнейшем будет выпущен приказ о премировании сотрудника. В нашей статье мы дадим рекомендации по его составлению и расскажем о процедуре оформления выдачи премии работнику. […]
            • Основное правило степени Свойства степени Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов. Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, […]
            • Правила ремонта и содержания железнодорожных путей промышленных предприятий Безопасная эксплуатация железнодорожных путей промышленных предприятий Анализ экспертиз промышленной безопасности объектов, связанных с транспортированием опасных веществ, выявил, что руководители предприятий, как правило, не могут изыскать необходимые и достаточные средства для […]
            • Ванга мусульмане будут править в европе Предсказания Ванги: В Европе будут править мусульмане Похоже, предсказания известной прорицательница Ванги постепенно начинают сбываться. В 80-ые годы прошлого века ясновидящая говорила: "Много людей пострадает. Несчастья навалятся отовсюду, все народы затронут. Люди будут ходить без […]
            • Управление государственной экспертизы по смоленской области Об учреждении Государственное учреждение Смоленской области (историческая справка) "Все прожекты зело исправны быть должны, дабы казну зряшно не разорять и Отечеству ущерба не чинить. Кто станет абы как ляпать, того чину лишу и кнутом драть велю" Указ императора Петра I, изданный им в […]