Предел спектрального разрешения

Главная / Предел спектрального разрешения

Дифракционный предел разрешения оптических инструментов

Для практики наиболее интересен случай дифракции света, когда препятствие оставляет открытой лишь малую часть 1-й зоны Френеля. Этот случай реализуется при условии

то есть дифракционную картину от препятствий небольшого размера следует в этом случае наблюдать на очень больших расстояниях. Например, если R = 1 мм, λ = 550 нм (зеленый свет), то расстояние L до плоскости наблюдения должно быть значительно больше 2 метров (то есть минимум 10 метров или больше). Лучи проведенные в далекую точку наблюдения от различных элементов волнового фронта, практически можно считать параллельными. Этот случай дифракции так и называется – дифракция в параллельных лучах или дифракция Фраунгофера – по имени немецкого физика И. Фраунгофера, современника Френеля. Если на пути лучей за препятствием поставить собирающую линзу, то параллельный пучок лучей, дифрагировавший на препятствии под углом θ, соберется в некоторой точке фокальной плоскости (рис. 6.9.1). Следовательно, любая точка в фокальной плоскости линзы эквивалентна бесконечно удаленной точке в отсутствие линзы.

В фокальной плоскости линзы наблюдается дифракционная картина Фраунгофера. Но согласно геометрической оптике, в фокусе линзы должно располагаться точечное изображение удаленного точечного предмета. На самом деле изображение точечного предмета оказывается размытым из-за дифракции. В этом проявляется волновая природа света. Никакая оптическая система не может дать точечного изображения. В случае дифракции Фраунгофера на круглом отверстии диаметра D дифракционное изображение состоит из центрального светлого пятна (диск Эйри), на которое приходится приблизительно 85 % энергии света, и окружающих его светлых и темных колец (рис. 6.9.2). Это дифракционное пятно и принимается за изображение точечного источника. Радиус центрального пятна в фокальной плоскости линзы равен

Если лучи света от удаленного источника падают на линзу непосредственно, то роль экрана, на котором дифрагирует свет, выполняет оправа линзы. В этом случае под D нужно понимать диаметр линзы.

Размер дифракционных изображений очень мал. Например, радиус центрального светлого пятна в фокальной плоскости линзы диаметром D = 5 см с фокусным расстоянием F = 50 см в монохроматическом свете с длиной волны λ = 500 нм приблизительно равен 0,006 мм. Во многих оптических устройствах (фотоаппараты, проекторы и т. д.) дифракционное размытие изображений маскируется значительно более сильными искажениями из-за несовершенства оптики. Но в высокоточных астрономических приборах реализуется дифракционный предел качества изображений. Вследствие дифракционного размытия изображения двух близких точек объекта могут оказаться неотличимы от изображения одной точки. Рассмотрим в качестве примера объектив астрономического телескопа, нацеленного на две близкие звезды, находящиеся на угловом расстоянии ψ друг от друга. Предполагается, что все дефекты и аберрации устранены, и в фокальной плоскости объектива наблюдаются дифракционные изображения звезд (рис. 6.9.3).

На рис. 6.9.3 расстояние Δl между центрами дифракционных изображений звезд превышает радиус r центрального светлого пятна – в этом случае изображения звезд воспринимаются наблюдателем раздельно и, следовательно, объектив телескопа позволяет разрешить две близкие звезды. При уменьшении углового расстояния ψ между звездами дифракционные изображения могут сильно перекрыться и перестанут отличаться от изображения одиночной звезды. В этом случае объектив телескопа не разрешает близкие звезды. Английский физик Дж. Релей в конце XIX в. предложил условно считать разрешение полным, когда расстояния Δl между центрами изображений равно (или превышает) радиус r диска Эйри (рис. 6.9.4). Условие Δl = r называют критерием разрешения Релея. Из этого критерия следует:

Телескоп с диаметром объектива D = 1 м способен разрешать две звезды, находящиеся на угловом расстоянии ψmin = 6,7·10–7 рад (для λ = 550 нм).

Космический телескоп Хаббла, выведенный на орбиту в 1990 году, имеет зеркало диаметром D = 2,40 м. Предельное угловое разрешение этого телескопа по длине волны λ = 550 нм равно: ψmin = 2,8·10–7 рад. На работу космического телескопа не оказывают влияния атмосферные возмущения. Для характеристики объектива телескопа можно ввести величину R, обратную предельному углу ψmin. Эту величину называют разрешающей силой телескопа:

Для увеличения разрешающей способности телескопа следует увеличивать диаметр объектива (либо переходить к более коротким волнам). Все сказанное выше о разрешающей способности телескопа применимо и к невооруженному глазу. Глаз при рассматривании удаленных предметов действует так же, как и объектив телескопа. Роль D играет диаметр зрачка глаза dзр. Полагая dзр = 3 мм, λ = 550 нм, найдем для предельного углового разрешения глаза

Этот результат хорошо согласуется с физиологической оценкой разрешающей способности глаза, выполненной исходя из размеров светочувствительных элементов сетчатки (палочек и колбочек). Теперь можно сделать один общий вывод: световой пучок диаметром D и длиной волны λ вследствие волновой природы света испытывает дифракционное уширение. Угловая полуширина φ пучка оказывается порядка λ / D, так что полная ширина d пучка на расстоянии L приблизительно равна

Рис. 6.9.5 качественно показывает, как по мере удаления от препятствия трансформируется пучок света.

Оценки, выполненные на рис. 6.9.5, показывают, что угловое расхождение пучка уменьшается при увеличении его первоначального поперечного размера D. Этот вывод справедлив для волн любой физической природы. Чтобы, например, послать «узкий» пучок лазерного излучения на Луну, нужно сначала его расширить. Это достигается с помощью телескопа, когда лазерный пучок направляется в окуляр и затем, пройдя через телескоп, выходит из объектива, имея диаметр D (рис. 6.9.6).

Такой расширенный пучок, дойдя до Луны, «засветит» на ее поверхности пятно радиусом где L – расстояние до Луны. Приняв D = 2,5 м (телескоп-рефлектор Крымской обсерватории), λ = 550 нм, L = 4·106 м, получим R ≈ 90 м. Если бы на Луну был направлен первоначальный пучок лазерного света, имеющий диаметр порядка 1 см, то он «засветил» бы на Луне пятно, радиус которого оказался бы в 250 раз больше. Разрешающая способность микроскопа. С помощью микроскопа наблюдают близко расположенные объекты, поэтому его разрешающаяся способность характеризуется не угловым, а линейным расстоянием между двумя близкими точками, которые еще могут восприниматься раздельно. Наблюдаемый объект располагается вблизи переднего фокуса объектива. Часто пространство перед объективом заполняется специальной прозрачной жидкостью – иммерсией (рис. 6.9.7). В плоскости, геометрически сопряженной объекту, располагается его увеличенное изображение, которое рассматривается глазом через окуляр. Изображение каждой точки оказывается размытым вследствие дифракции света.

Впервые предел разрешения объектива микроскопа был определен немецким физиком Г. Гельмгольцем (1874 г.). Формула Гельмгольца имеет вид:

Здесь λ – длина волны, n – показатель преломления иммерсионной жидкости, α – так называемый апертурный угол (рис. 6.9.7). Величина n sin α называется числовой апертурой. У хороших микроскопов апертурный угол α близок к своему пределу: α ≈ π / 2. Как видно из формулы Гельмгольца, применение иммерсии несколько улучшает предел разрешения. Полагая для оценок sin α ≈ 1, n ≈ 1,5, получим:

lmin ≈ 0,4 λ. Таким образом, с помощью микроскопа принципиально невозможно рассмотреть какие-либо детали, размер которых значительно меньше длины света. Волновые свойства света определяют предел качества изображения объекта, полученного с помощью любой оптической системы.

fizika.ayp.ru

Справочник химика 21

Химия и химическая технология

Предел разрешения

Товарные автомобильные бензины представляют собой, как правило, смеси многих компонентов, в том числе и высокооктановых продуктов каталитического крекинга. В зависимости от мар си бензина состав компонентов может колебаться в широких пределах. Так же, как и при приготовлении авиационных бензинов, в пределах, разрешенных стандартом, к автомобильным бензинам (кроме бензина А-72) добавляют этиловую жидкость. Для обеспечения нормальной работы более экономичных двигателей с высокой степенью сжатия все больше вырабатывается высококачественных автомобильных бензинов АИ-93 и АИ-98. Максимально допустимая концентрация ТЭС в этих бензинах не должна превышать 0,82 г на 1 кг бензина, температура конца кипения—195 °С. Бензины АИ-93 и АИ-98 обладают хорошей стабильностью, что позволяет хранить их длительное время. [c.43]

Увеличение разрешающей способности приборов позволяет работать со все более сложными спектрами. Где же лежит предел повышения разрешающей способности приборов Практически она обычно ограничена их размерами и стоимостью. Теоретический предел разрешения дает ширина спектральных линий, определяемая источником света и собственной шириной линии, которую до сих пор не учитывали, считая, что она значительно меньше геометрической и дифракционной ширины. Если разность длин волн двух линий, излучаемых источником света, меньше, чем ширина каждой из них, то добиться разрешения нельзя ни при каких параметрах спектрального аппарата. [c.107]

Предельное разрешение двух спектральных линий одинаковой интенсивности достигается при таком их наложении, когда главный максимум дифракционного изображения % налагается на первый минимум дифракционного изображения щели лучами с длиной волны Я- -0,05 мк), было найдено, что в некотором ограниченном интервале распределение частиц по размерам может быть выражено с помощью простого степенного уравнения [c.327]

Достоинством форматов некомпрессирующих или с компрессией без потерь информации является максимально адекватное представление изображения по цвету и геометрии, включая детали на пределе разрешения, а также высокая совместимость с большинством аппаратных платформ и существующего программного обеспечения недостаток таких форматов — большой занимаемый объем. [c.719]

Следует раз. тчать номинальное и эффективное разрешения. Номинальное разрешение означает предел разрешения структурны.х факторов в синтезе Фурье, тогда как эффективное разрешение относится к результируюш,ей карте электронной плотности. Эффективное разрешение всегда ниже номинального. Различие может быть заметным, если точность фаз структурны.х факторов низка или если набор структурных факторов неполон. К сожалению, оценки эффективного разрешения не существует. В литературе обычно приводится номинальное разрешение. [c.160]

Дальнейшим шагом по пути уменьшения длины волны экспозиционного пучка (и предела разрешения) явился переход к электронной, рентгеновской и ионной литографии. Все виды литографии объединяют термином актинолитография. Прн экспонировании пучком электронов экспериментально достигнуто разрешение 0,1 мкм, а рентгеновским излучением — 0,02 мкм. Новые виды актинолитографии требуют создания, освоения и использования дорогостоящего оборудования, что приводит к большим капиталовложениям [7]. [c.13]

Типичные значения частот продольных мод колебаний находятся в диапазоне 100- -2000 Гц, что соответствует длине двигателя от 5 до 0,3 м, хотя наблюдались также продольные колебания низкой частоты порядка 15 Гц и высокой — порядка 15 000 Гц. При стендовых огневых испытаниях РДТТ продольные колебания, как правило, всегда регистрируются, поскольку их частота находится в пределах разрешения используемых на практике датчиков давления и регистрирующей аппаратуры. Колебания давления с амплитудой, составляющей 10% номинального давления, могут вызывать колебания тяги РДТТ в 20- 100% по отношению к номиналу. Это связано с тем, что волна давления действует на всю площадь заднего днища камеры сгорания, тогда как номинальная тяга определяется номинальным рабочим давлением и площадью критического сечения сопла (а также коэффициентом тяги, равным 1,1—1,5). Такие колебания могут приводить к вибрациям конструкции ракеты и поставить под угрозу функционирование большинства бортовых систем. Основные различия между продольными и поперечными колебаниями состоят в следующем. [c.127]

При увеличении ширины щели растет светосила прибора и величина регистрируемого сигнала. При очень малой щели уменьшается отношение сигнал/шум и растет ошибка измерений. Спектральный интервал Ау «, соответствующий в фокальной плоскости выходного коллиматора ширине щели Ь, никогда не должен быть меньше дифракционного предела разрешения Зу еор- Теория спектральных приборов показывает, что при выполнении условия Ау Смотреть страницы где упоминается термин Предел разрешения: [c.71] [c.168] [c.216] [c.100] [c.232] [c.114] [c.513] [c.427] [c.114] [c.433] [c.433] [c.244] [c.88] [c.296] Техника и практика спектроскопии (1976) — [ c.23 ]

chem21.info

Предел спектрального разрешения

Потенциальный предел и показатели качества сверхрэлеевского разрешения сигналов

л аборатория проблем обработки радиолокационной информации Военной академии войсковой ПВО

имени Маршала Советского Союза А. М. Василевского, Смоленск

Получена 8 июля 2013 г.

Аннотация. В статье проведена систематизация направлений поиска потенциального предела сверхрэлеевского разрешения и дан ответ на вопрос о существовании такого предела при решении задачи разрешения-обнаружения. Показано, что кривые вероятности полного разрешения сигналов определяют предел разрешающей способности при фиксированной вероятности ложной тревоги и коэффициенте корреляции сигналов. Методом имитационного моделирования для большого количества алгоритмов цифрового спектрального анализа оценена степень их приближения к потенциальному пределу сверхрэлеевского разрешения.

Ключевые слова : сверхрэлеевское разрешение, разрешающая способность, предел разрешения, показатели качества разрешения сигналов, цифровой спектральный анализ.

Abstract. Systematization of the directions of search of a potential limit of superrayleigh resolution is carried out and a question of existence of such limit at the solution of a problem of resolution detection is answered . It is shown that curve probabilities of full resolution of signals define a resolution limit at the fixed probability of a false alarm and coefficient of correlation of signals. The method of imitating modeling for a large number of algorithms of the digital spectral analysis estimated extent of their approach to a potential limit of superrayleigh resolution.

Keywords – superrayleigh resolution, resolution, resolution limit, indicators of quality of resolution of signals, digital spectral analysis.

Достаточно долгое время для радиоэлектронных систем различной физической природы предел разрешающей способности, установленный впервые в 1888 году Рэлеем, считался фундаментальным пределом, преодолеть который было невозможно. Основанием для этого стало то, что введенные им определение и критерий разрешения прекрасно подтверждались многочисленными экспериментами в различных областях радиотехники. Поэтому, со временем, эти понятия стали классическими.

С появлением новых методов обработки сигналов и получением в ряде случаев разрешения, превышающего установленное Рэлеем, классическое определение и предел разрешающей способности стали противоречить экспериментальным результатам. Начиная примерно с конца 50-х годов прошлого века, были разработаны первые методы сверхрэлеевского разрешения сигналов. Применительно к радиолокационным приложениям в работах [1–4] показана принципиальная возможность превышения рэлеевского предела разрешающей способности исключительно за счет обработки сигналов. Таким образом, считавшийся фундаментальным предел разрешающей способности, установленный Рэлеем, был успешно преодолен.

Однако широкому практическому применению методов сверхрэлеевского разрешения сигналов препятствовали высокие требования к объему и быстродействию существующей в то время вычислительной аппаратуры. Интенсивное развитие технологий цифровой обработки сигналов позволило в настоящее время устранить эту проблему и создало хорошие возможности для их реализации в радиоэлектронных системах различного назначения.

В связи с достаточно большим количеством методов сверхрэлеевского разрешения сигналов актуальной является задача сравнительной оценки их эффективности. Как правило, такие методы сравниваются не по совокупности, а по одному – двум частным, но наиболее выигрышным показателям качества. Не оговариваются четко и ясно условия, при которых были получены те или иные результаты. Часто при сравнительной оценке используются даже разные определения разрешающей способности. Все это создает серьезную проблему для специалистов при практическом применении того или иного метода высокого разрешения в радиоэлектронных системах. Кроме того, продолжаются поиски единого потенциального предела, к которому должны приближаться все методы сверхрэлеевского разрешения сигналов. Установление такого предела позволило бы расставить их в один приоритетный ряд по степени приближения к нему и сделать вывод о целесообразности дальнейшей работы по повышению разрешающей способности. Но самое главное это позволило бы ответить на вопрос о том, какие возможности в принципе заложены в методах, позволяющих за счет обработки сигналов обеспечить более высокую разрешающую способность, чем это определено критерием разрешения Рэлея. Установление потенциальной границы разрешения необходимо также для того, чтобы выявлять ошибочные методы сверхрэлеевского разрешения сигналов. Это становится возможным благодаря тому, что если потенциальный предел будет найден, то ни один из методов не сможет его преодолеть.

В связи с этим целью статьи является систематизация направлений поиска потенциального предела сверхрэлеевского разрешения и ответ на вопрос о существовании или отсутствии такого предела при решении задачи разрешения-обнаружения.

Существует четыре направления, в которых специалисты делают попытки получить потенциальный предел сверхрэлеевского разрешения. При этом каждое направление характеризуется своим определением разрешающей способности, показателями качества разрешения, методами сверхрэлеевского разрешения, а также ограничениями и допущениями.

Первое направление связано с решением задачи разрешения-обнаружения. В этом случае к разрешающей способности подходят со статистической точки зрения, по аналогии с теорией обнаружения [1,2,4,5] . Для задачи разрешения-обнаружения в работе [5] введены понятия полного разрешения и частные показатели качества разрешения сигналов. При этом под полн ым разрешением группы из М сигналов при наличии помех понимается принятие решения об осуществлении одного из 2 М возможных несовместных событий в виде различных комбинаций наличия или отсутствия каждого из сигналов [5]. Предполагается, что число М разрешаемых сигналов известно, а сами сигналы могут характеризоваться определенным числом детерминированных или случайных параметров [1,2,4,5]. Вопрос о существовании предела для задачи разрешения-обнаружения будет рассмотрен ниже.

Второе направление связано с решением задачи разрешения-измерения. Для данного направления понятие разрешающей способности связывают с точностью оценки случайных параметров сигналов [6 −10 ]. В общем виде критерий разрешения сигналов для этого направления можно сформулировать следующим образом. Сигналы разрешаются, если точность оценки параметров каждого из сигналов, не ниже заданной. Для решения задачи разрешения-измерения точность оценки параметров выражается, как правило, через математические ожидания, среднеквадратичные ошибки и дисперсии оценок [6 −10 ]. Для данного направления предполагается, что число разрешаемых сигналов определено, задана их аналитическая форма и они имеют фиксированное количество случайных параметров.

Потенциальный предел при решении задачи разрешения-измерения установлен, т. к. известно, что существует нижняя граница точности любых несмещенных оценок [11]. Для любого из методов данного направления потенциальный предел сверхрэлеевского разрешения сигналов определяется неравенством Крамера–Рао. Иными словами, так же как и при оценке одного параметра сигнала, при разрешении сигналов существует минимальный корреляционный эллипсоид такой, что корреляционный эллипсоид произвольного набора несмещенных оценок всегда больше минимального

,

корреляционная матрица несмещенных оценок параметров сигналов ;

информационная матрица Фишера [ 11 ] ;

символ комплексно-сопряженного транспонирования .

Таким образом, при решении задачи разрешения-измерения заданный объем корреляционного эллипсоида служит мерой разрешения сигналов, а его минимальный объем – потенциальным пределом. Необходимо отметить, что неравенство Крамера–Рао определяет границу эффективных и несмещенных оценок параметров разрешаемых сигналов в условиях регулярности целевой функции. Условия регулярности не всегда могут быть обеспечены. Как следствие, установить потенциальный предел становиться невозможным. Для некоторых случаев задачи разрешения-измерения сигналов потенциальный предел получен в работах [6−10 и др. ].

Третье направление связано с решением задачи разрешения-обнаружения-измерения. При этом под разрешением сигналов понимается указание числа сигналов, содержащихся в реализации смеси сигналов и помех, и оценивание параметров всех обнаруженных сигналов [13,14]. Это направление является наиболее общим с теоретической и практической точек зрения. Как следует из определения разрешающей способности, для данного направления предполагается, что неизвестно как число разрешаемых сигналов, так и их параметры. В этом случае значительно сложнее становится поиск не только потенциального предела сверхрэлеевского разрешения, но и самого метода разрешения сигналов.

Например, метод максимального правдоподобия в его традиционной форме неприменим для синтеза алгоритмов разрешения-обнаружения-измерения, поскольку приводит к тривиальной оценке числа сигналов, принимающей с вероятностью близкой к единице их максимально допустимое значение [13]. Кроме того, препятствиями на пути установления границы сверхрэлеевского разрешения являются невозможность получения явных выражений для целевых функций, а также трудности аналитического исследования статистических характеристик получаемых оценок . Как правило, оценки являются смещенными. Это не позволяет найти для них нижнюю границу точности, определяемую неравенством Крамера–Рао. С мещение оценок отсутствует только в том случае, когда предполагаемое число сигналов равно их истинному числу. В этом случае мы снова приходим к задаче разрешения-измерения и, установление потенциального предела сводится к ранее рассмотренной задаче нахождения минимального объема корреляционного эллипсоида оценок параметров разрешаемых сигналов.

Четвертое направление связано с информационным подходом к понятию разрешающей способности [12]. Это следует из того, что интегральное уравнение Фредгольма 1-го рода, устойчивое решение которого требуется получать при сверхрэлеевском разрешении сигналов, совпадает с интегральным уравнением свертки, описывающим прохождение переданного сигнала через канал связи с шумом. Для такого канала хорошо известна формула Шеннона, связывающая между собой скорость передачи информации с полосой пропускания канала и отношением сигнал-шум. Скорость передачи информации, в свою очередь, можно трактовать как передачу определенного числа различимых (разрешаемых) сигналов в единицу времени. В связи с этим, в работе [12] показано, что для информационного подхода предел сверхрэлеевского разрешения сигналов определяется уровнем шума во входных данных и может быть вычислен по формуле, следующей из теоремы Шеннона:

,

рассогласование сигналов по разрешаемому параметру ;

ширина характеристики (импульсной, частотной или пространственной) системы, определяющая ее разрешающую способность по Рэлею ;

коэффициент, зависящий от точного вида определения ширины характеристики системы [12];

Вернемся к вопросу о существовании предела для задачи разрешения-обнаружения. Для этого остановимся более подробно на эффективности методов сверхрэлеевского разрешения сигналов. Введем показатели качества разрешения. Качество полного разрешения целесообразно оценивать матрицей условных вероятностей , содержащей матричных элементов [5]. Элементом матрицы Р является вероятность принятия решения о событии i при условии, что в действительности имеет место событие j . Матричные элементы с равными индексами i = j характеризуют условные вероятности принятия правильных решений, а с неравными индексами ij – ложных решений.

В частности, для полного разрешения двух сигналов ( ) имеем следующую матрицу условных вероятностей:

(1)

вероятность правильного необнаружения сигналов ;

вероятность правильного обнаружения первого (второго, двух сигналов) ;

вероятность ложной тревоги при обнаружении первого (второго, двух) сигналов ;

вероятность пропуска первого (второго, двух) сигналов ;

вероятность перепутывания при обнаружении первого (второго) сигналов ;

вероятность перепутывания при обнаружении первого (двух) сигналов ;

вероятность перепутывания при обнаружении второго (двух) сигналов .

В геометрической интерпретации указанные выше вероятности показаны на рисунке 1. Они равны площадям фигур, ограниченных соответствующими плотностями вероятности и порогами . Например,

или ,

плотность вероятности суммы первого, второго сигнала и шума;

плотность вероятности суммы первого сигнала и шума.

Поскольку, соответствующие одному и тому же условию (нет сигналов, присутствуют первый, второй или два сигнала) решения (сигналов не обнаружено, обнаружен первый, второй или два сигнала) взаимоисключающие, то выполняются равенства:

, .

Рисунок 1 – Пояснение к формированию элементов матрицы , характеризующей

качество полного разрешения двух сигналов

Система показателей качества полного разрешения может характеризоваться различными вариантами выбора из матрицы (1) независимых матричных элементов. Например, в качестве таковых могут выступать:

1) вероятности ошибочных решений , ij ;

2) вероятности , , , и ;

3) вероятности , , , и ;

4) вероятности , , , и ;

5) вероятности , , , и .

Рассмотрим первую систему показателей. Матричные элементы , можно объединить, введя результирующую вероятность ложной тревоги . По аналогии с теорией обнаружения при оценке качества разрешения сигналов условную вероятность будем задавать априори, и ограничивать ее сверху достаточно малой величиной. Для решения задач сверхрэлеевского разрешения сигналов ее целесообразно выбирать порядка . К разрешению сигналов, как правило, переходят после обнаружения хотя бы одного сигнала, т. е. превышения порога обнаружения , показанного на рисунке 1 . В этом случае, выбирая в диапазоне ( достаточно большой для задачи классического обнаружения) за счет сдвига порога от П1 к , обеспечивается весьма малое значение «хвостов» распределений смеси первого, второго или двух сигналов с шумом. «Хвосты» распределений определяются вероятностями и показаны на рисунке 1 штриховкой после выставления порога , соответствующего результирующей вероятности ложной тревоги . Поэтому достаточно корректно допущение, что матричные элементы , , характеризующие вероятности пропуска первого, второго и двух сигналов, будут близки к нулю. В этом случае можно записать , и . В целом, система показателей качества вместо девяти теперь характеризуется четырьмя следующими значениями: априори заданной результирующей условной вероятностью ложной тревоги и условными вероятностями правильного обнаружения первого, второго и двух сигналов , и .

Таким образом, мы получили удобную систему показателей качества для оценки эффективности полного разрешения двух сигналов. Рассмотренный подход достаточно просто можно распространить на число разрешаемых сигналов больше двух, но в данной статье ограничимся только двумя. Заметим, что если каждый из сигналов разрешен и известна вероятность его обнаружения , то вероятность полного разрешения сигналов (фактически определения числа сигналов) рассчитывается как вероятность независимых событий, т. е. . Например, вероятность полного разрешения двух сигналов с одинаковой энергией соответствует вероятности правильного обнаружения каждого отдельного сигнала , а соответствует . Полученная система показателей качества используется ниже для оценки эффективности полного разрешения двух сигналов .

На основе результатов, изложенных в работах [4,5], были получены оценки эффективности методов сверхрэлеевского разрешения Я. Ширмана [5] и К. Хелстрома [4]. Метод Я. Ширмана, в основе которого лежит байесовский подход, выбран потому, что он реализует оптимальный алгоритм разрешения сигналов при полной статистической априорной информации о них. Метод К. Хелстрома, в основе которого лежит метод максимального правдоподобия (наименьших квадратов), выбран потому, что он широко распространен на практике в самых различных областях радиотехники. Кроме того, оценки максимального правдоподобия обладают свойством состоятельности и асимптотической эффективности.

Результаты расчетов представлены на рисунках 2−4 в виде кривых обнаружения отдельного сигнала из смеси двух сигналов с шумом (рисунки 2а–4а) и кривых полного разрешения двух сигналов (рисунки 2б–4б) в зависимости от отношения сигнал-шум. Графики построены при вероятности ложной тревоги и фиксированных к оэффициентах корреляции сигналов 0,9 (рисунок 2 ), 0,5 (рисунок 3) и 0,2 (рисунок 4). На рисунках 2−4 построены также классические кривые обнаружения для одиночного сигнала. Сплошными линиями на рисунках показаны характеристики для сигналов с детерминированными параметрами, а пунктирными – со случайной амплитудой и фазой. Маркером в виде квадрата на всех рисунках показаны вероятности разрешения для метода Я. Ширмана, а в виде кружка для метода К. Хелстрома. Необходимо отметить, что графики на рисунках 2–4 построены для определенных F и . Тем не менее, руководствуясь индуктивным методом познания можно заключить, что сделанные ниже выводы являются справедливыми и в общем случае. Разница будет только в конкретных численных показателях.

Из анализа графиков, представленных на рисунках 2−4, следует ряд важных выводов. Первый из них касается количественных показателей качества полного разрешения сигналов. Видно, что эффективность рассматриваемых методов сверхрэлеевского разрешения при коэффициенте корреляции сигналов ρ= 0,5, т. е. когда уже превзойден рэлеевский предел разрешающей способности, достаточно высока. Например, для сигналов со случайными амплитудами и фазами при отношении сигнал-шум 20 дБ, вероятности ложной тревоги F = 0,001 и коэффициенте корреляции сигналов ρ= 0,5, вероятность полного разрешения двух сигналов составляет около 0,7 (см. рисунок 3б).

Второй вывод затрагивает сравнительную оценку эффективности методов. Как видно из представленных результатов кривые разрешения для метода Я. Ширмана смещены по оси абсцисс влево относительно кривых разрешения К. Хелстрома. Другими словами, метод разрешения Я. Ширмана на основе байесовского подхода при прочих равных условиях эффективней метода разрешения К. Хелстрома, в основу которого положены оценки максимального правдоподобия (наименьших квадратов).

jre.cplire.ru

Смотрите так же:

  • Заявление о аресте имущества должника по алиментам Заявление о проведении оценки имущества должника и передаче его на реализацию ЗАЯВЛЕНИЕ о проведении оценки и передаче недвижимого имущества на реализацию 15.10.2012 г. взыскателем был передан на исполнение исполнительный лист, выданный 10.10.12 на основании решения Арбитражного суда […]
  • Дееспособность в договоре купли продажи Что предусмотреть в договоре купли-продажи квартиры? Договор купли-продажи квартиры составляется в простой письменной форме в виде одного документа, подписанного сторонами, и не требует обязательного нотариального заверения. Исключение составляют, в частности, сделки по отчуждению […]
  • Оплата адвоката в ночное время Усовершенствован порядок оплаты труда адвокатов, участвующих в гражданских и уголовных делах по назначению Установлено, в частности, что при определении размера вознаграждения адвоката, участвующего в уголовном деле по назначению дознавателя, следователя и суда, учитывается время, […]
  • Зарплата плюс налоги Сколько налогов мы платим. Думаете, 13 процентов? Детский такой вопрос - сколько вы платите налогов? Большинство полагает, что платят 13% от своего дохода - и то достаточно безболезненно, поскольку НДФЛ автоматически вычитается работодателем (а в переговорах оговаривается "чистая" […]
  • Закон о пенсиях 340-1 Расчет размера пенсий по старости по Закону от 20.11.90 № 340-1 Для назначения полной пенсии по старости необходимо иметь: 55% от заработной платы (ЗП) пенсионера За каждый год отработанных сверх этого + 1%, но не свыше 20%, т.е. 75% от ЗП. К основному размеру пенсии полагаются в […]
  • Маска для осаго Каско без маски. Как сэкономить при покупке полиса Несколько месяцев назад корреспондент «Денег», выйдя во двор, увидела толпу соседей, окруживших толстого гаишника. Оказалось, что у соседа украли почти новый белоснежный Range Rover Vogue. Уже вечером, встретив жену соседа и […]
  • Решения суда нижневартовска Нижневартовский городской суд Ханты-Мансийского автономного округа-Югры Как следует из регистрационной карточки по штатам от 28 июня 1940 года (приложение №№ 1,2,3) , Нижневартовский городской суд в 1940 году именовался Ларьякским районным судом и непосредственно подчинялся Управлению […]
  • Надбавка к пенсии в августе 2018 году Как работающему пенсионеру начать получать пенсию в полном объеме (с индексацией)? В соответствии со статьей 2 Федерального закона от 29.12.2015 года № 385-ФЗ обязанности по представлению в ПФР сведений о принятии на работу либо увольнении с работы пенсионеров возложены на страхователей […]