Правило сложение чисел с разными знаменателями

Главная / Правило сложение чисел с разными знаменателями

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями

Складывать и вычитать дроби с разными знаменателями можно только тогда, когда в процессе вычисления дроби приведены к одному общему знаменателю.

Общий знаменатель нескольких дробей — это НОК (наименьшее общее кратное) натуральных чисел, являющихся знаменателями заданных дробей.

К числителям заданных дробей нужно поставить дополнительные множители, равные отношению НОК и соответствующего знаменателя.

Числители заданных дробей умножаются на свои дополнительные множители, получаются числители дробей с единым общим знаменателем. Знаки действий («+» или «-») в записи дробей, приводимых к общему знаменателю, сохраняются перед каждой дробью. У дробей с общим знаменателем знаки действий сохраняются перед каждым приведенным числителем.

Только теперь можно сложить или вычесть числители и подписать под результатом общий знаменатель.

Внимание! Если в результирующей дроби у числителя и знаменателя есть общие множители, то дробь надо сократить. Неправильную дробь желательно перевести в смешанную дробь. Оставить результат сложения или вычитания, не сократив дробь, где это возможно, — это неоконченное решение примера!

Сложение и вычитание дробей с разными знаменателями. Правило. Чтобы сложить или вычесть дроби с разными знаменателями, нужно их сначала привести к наименьшему общему знаменателю, а потом производить действия сложения или вычитания как с дробями с одинаковыми знаменателями.

Порядок действий при сложении и вычитании дробей с разными знаменателями

  1. найти НОК всех знаменателей;
  2. проставить к каждой дроби дополнительные множители;
  3. умножить каждый числитель на дополнительный множитель;
  4. полученные произведения взять числителями, подписав под каждой дробью общий знаменатель;
  5. произвести сложение или вычитание числителей дробей, подписав под суммой или разностью общий знаменатель.
  6. Так же производится сложение и вычитание дробей при наличии в числителе букв.

    shkolo.ru

    Сложение чисел с разными знаками. 6-й класс

    Разделы: Математика

    Цели урока:

    • научить складывать отрицательные числа, числа с разными знаками и противоположные числа;
    • развитие познавательной активности, творческих способностей, умения оценивать друг друга;
    • формирование умения самостоятельно мыслить.

    Ход урока

    Устная работа: (приложение, слайд №2-4)

    1. Как сложить две десятичные дроби?

    (Сложение по разрядам, запятая — под запятой.)

    2. Как сложить две обыкновенные дроби?

    (- найти общий знаменатель;

    — найти дополнительные множители;

    3. Вычислить:

    • 4 + 1,5 =
    • 6,3 + 3,4 =
    • 7,2 — 4,1 =
    • 4. Как сравнить десятичные дроби? (по разрядам.)

      5. Как сравнить обыкновенные дроби, если:

      а) знаменатели равны; (из двух дробей с равными знаменателями больше та, числитель которой — больше)

      б) числители равны; (из двух дробей с равными числителями больше та, числитель которой — меньше)

      в) и числитель, и знаменатель — разные. (если числители и знаменатели дробей разные, то приводим их к общему знаменателю, а затем сравниваем их также как с равными знаменателями)

      6. Сравнить:

      • 1,3 и 2,4;
      • 3,15 и 3,17;
      • и ;
      • и ;
      • и .
      • 7. Какие числа называются отрицательными? (числа со знаком «минус»)

        8. Какие числа называются положительными? (числа со знаком «плюс»)

        9. Какие числа называются противоположными? (числа, находящиеся на одинаковом расстоянии от нуля, но в противоположном направлении.)10. Назовите положительные, отрицательные и противоположные числа:

        -5,2; 35; 7,8; 5,2; -19; 24; -1,7; 28,6; 19; 1/2; -16,7; 107; 293; -1/2; 25,6; 15,015; -3/4; 27 1/2; -5,2; 1/4; -35.

        11. Когда возникли отрицательные числа? Где? Какие действия с ними умели выполнять древние? (приложение, слайд №5)

        — Отрицательные числа появились приблизительно 2100 лет тому назад в Древнем Китае. Древние толковали о долге (отрицательные числа) и имуществе (положительные числа). Долгое время такие числа считали «несуществующими» прежде всего из-за того, что принятое истолкование для положительных и отрицательных чисел «имущество — долг» приводило к недоумениям: можно сложить или вычесть «имущество» или «долги», но как понимать произведение «имущества» и «долга»? Однако несмотря на такие сомнения и недоумения действия сложения, вычитания, умножения и деления выполнялись, правила для чего были предложены греческим математиком Диофантом еще в III в нашей эры.

        Рассмотрим следующие задачи: (приложение, слайд № 6-10)

        1. В книге доходов и расходов купца сделаны следующие записи:

        xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

        Сложение чисел с разными знаками, правило, примеры.

        В этой статье мы разберемся со сложением чисел с разными знаками. Здесь мы приведем правило сложения положительного и отрицательного числа, и рассмотрим примеры применения этого правила при сложении чисел с разными знаками.

        Навигация по странице.

        Правило сложения чисел с разными знаками

        Положительные и отрицательные числа можно трактовать как имущество и долг соответственно, при этом модули чисел показывают величину имущества и долга. Тогда сложение чисел с разными знаками можно рассматривать как сложение имущества и долга. При этом понятно, что если имущество меньше долга, то после взаимозачета останется долг, если имущество больше долга, то после взаимозачета останется имущество, а если имущество равно долгу, то после расчетов не останется ни долга, ни имущества.

        Объединим приведенные выше рассуждения в правило сложения чисел с разными знаками. Чтобы сложить положительное и отрицательное число, надо:

        • найти модули слагаемых;
        • сравнить полученные числа, при этом
          • если полученные числа равны, то исходные слагаемые являются противоположными числами, и их сумма равна нулю,
          • если же полученные числа не равны, то надо запомнить знак числа, модуль которого больше;
          • из большего модуля вычесть меньший;
          • перед полученным числом поставить знак того слагаемого, модуль которого больше.
          • Озвученное правило сводит сложение чисел с разными знаками к вычитанию из большего положительного числа меньшего числа. Также понятно, что в результате сложения положительного и отрицательного числа может получиться или положительное число, или отрицательное число, или нуль.

            Также заметим, что правило сложения чисел с разными знаками справедливо для целых чисел, для рациональных чисел и для действительных чисел.

            Примеры сложения чисел с разными знаками

            Рассмотрим примеры сложения чисел с разными знаками по правилу, разобранному в предыдущем пункте. Начнем с простого примера.

            www.cleverstudents.ru

            Сложение чисел с разными знаками: правило, примеры

            В этом материале мы расскажем, как правильно выполнять сложение отрицательного и положительного числа. Сначала мы приведем основное правило такого сложения, а потом покажем, как оно применяется при решении задач.

            Основное правило сложения положительных и отрицательных чисел

            Мы уже говорили ранее, что положительное число можно рассматривать как доход, а отрицательное – как убыток. Чтобы узнать величину дохода и расхода, надо смотреть на модули этих чисел. Если в итоге окажется, что наши расходы превышают доходы, то после их взаимного учета мы останемся должны, а если наоборот, то мы останемся в плюсе. Если же расходы равны доходам, то у нас будет нулевой остаток.

            Используя приведенные выше рассуждения, можно вывести основное правило сложения чисел с разными знаками.

            Для сложения положительного числа с отрицательным необходимо найти их модули и выполнить сравнение. Если значения окажутся равны, то мы имеем два слагаемых, которые являются противоположными числами, и их сумма будет нулевой. Если же они не равны, то нам надо учесть, что результат будет иметь тот же знак, что и большее число.

            Таким образом, сложение в данном случае сводится к вычитанию из большего числа меньшего. Итог этого действия может быть разным: мы можем получить как положительное, так и отрицательное число. Нулевой результат тоже возможен.

            Это правило распространяется на целые, рациональные и действительные числа.

            Задачи на сложение положительного числа с отрицательным

            Разберем, как применять на практике правило, озвученное выше. Возьмем для начала простой пример.

            Вычислите сумму 2 + ( — 5 ) .

            Выполним последовательно шаги, которые мы изучили до этого. Найдем для начала модули исходных чисел, которые будут равны 2 и 5 . Больший модуль – 5 , поэтому запоминаем минус. Далее вычитаем из большего модуля меньший и получаем: 5 − 2 = 3 .

            Ответ: ( − 5 ) + 2 = − 3 .

            Если в условиях задачи стоят рациональные числа с разными знаками, не являющиеся при этом целыми, то для удобства расчетов нужно представить их в виде десятичных или обыкновенных дробей. Возьмем такую задачу и решим ее.

            Вычислите, сколько будет 2 1 8 + ( — 1 , 25 ) .

            Решение

            Первым делом переведем смешанное число в обыкновенную дробь. Если вы не помните, как это делается, перечитайте соответствующую статью.

            Десятичную дробь мы тоже представим в виде обыкновенной: — 1 , 25 = — 125 100 = — 5 4 .

            После этого уже можно переходить к вычислению модулей и подсчету результата. Найдем модули: они будут равны 17 8 и 5 4 соответственно. Получившиеся дроби приведем к общему знаменателю и получим 17 8 и 10 8 .

            Следующим шагом будет сравнение обыкновенных дробей. Поскольку числитель первой дроби больше, то 17 8 > 10 8 . Если слагаемое со знаком плюс у нас больше, то нам надо запомнить, что результат будет положительным.

            Далее вычтем из большего модуля меньший (см. материал о том, как найти разность дробей с одинаковыми знаменателями):

            17 8 — 10 8 = 17 — 10 8 = 7 8

            Мы уже отмечали ранее, что результат у нас будет со знаком плюс: + 7 8 . Так как плюс писать необязательно, при записи ответа обойдемся без него.

            Запишем весь ход решения:

            2 1 8 + — 1 , 25 = 17 8 + — 5 4 = 17 8 + — 10 8 = 17 8 — 10 8 = 7 8

            Ответ: 2 1 8 + — 1 , 25 = 7 8 .

            Найдите, чему будет равна сумма 14 и — 14 .

            Мы имеем два одинаковых слагаемых с разными знаками. Значит, эти числа являются противоположными друг другу, следовательно, их сумма будет равна 0 .

            Ответ: 14 + — 14 = 0

            В конце статьи добавим, что результат сложения действительных отрицательных чисел с положительными зачастую лучше записывать в виде числового выражения с корнями, степенями или логарифмами, а не в виде бесконечной десятичной дроби. Так, если мы сложим числа n и — 3 , то ответ будет равен n — 3 . Считать окончательный результат нужно далеко не всегда, и можно обойтись приблизительными расчетами. Более подробно об этом мы напишем в статье об основных действиях с действительными числами.

            www.zaochnik.com

            Сложение и вычитание дробей

            Дроби — это обычные числа, их тоже можно складывать и вычитать. Но из-за того, что в них присутствует знаменатель, здесь требуются более сложные правила, нежели для целых чисел.

            Рассмотрим самый простой случай, когда есть две дроби с одинаковыми знаменателями. Тогда:

            Чтобы сложить дроби с одинаковыми знаменателями, надо сложить их числители, а знаменатель оставить без изменений.

            Чтобы вычесть дроби с одинаковыми знаменателями, надо из числителя первой дроби вычесть числитель второй, а знаменатель опять же оставить без изменений.

            Внутри каждого выражения знаменатели дробей равны. По определению сложения и вычитания дробей получаем:

            Как видите, ничего сложного: просто складываем или вычитаем числители — и все.

            Но даже в таких простых действиях люди умудряются допускать ошибки. Чаще всего забывают, что знаменатель не меняется. Например, при сложении их тоже начинают складывать, а это в корне неправильно.

            Избавиться от вредной привычки складывать знаменатели достаточно просто. Попробуйте сделать то же самое при вычитании. В результате в знаменателе получится ноль, и дробь (внезапно!) потеряет смысл.

            Поэтому запомните раз и навсегда: при сложении и вычитании знаменатель не меняется!

            Также многие допускают ошибки при сложении нескольких отрицательных дробей. Возникает путаница со знаками: где ставить минус, а где — плюс.

            Эта проблема тоже решается очень просто. Достаточно вспомнить, что минус перед знаком дроби всегда можно перенести в числитель — и наоборот. Ну и конечно, не забывайте два простых правила:

            1. Плюс на минус дает минус;
            2. Минус на минус дает плюс.
            3. Разберем все это на конкретных примерах:

              В первом случае все просто, а во втором внесем минусы в числители дробей:

              Что делать, если знаменатели разные

              Напрямую складывать дроби с разными знаменателями нельзя. По крайней мере, мне такой способ неизвестен. Однако исходные дроби всегда можно переписать так, чтобы знаменатели стали одинаковыми.

              Существует много способов преобразования дробей. Три из них рассмотрены в уроке «Приведение дробей к общему знаменателю», поэтому здесь мы не будем на них останавливаться. Лучше посмотрим на примеры:

              В первом случае приведем дроби к общему знаменателю методом «крест-накрест». Во втором будем искать НОК. Заметим, что 6 = 2 · 3; 9 = 3 · 3. Последние множители в этих разложениях равны, а первые взаимно просты. Следовательно, НОК(6; 9) = 2 · 3 · 3 = 18.

              Что делать, если у дроби есть целая часть

              Могу вас обрадовать: разные знаменатели у дробей — это еще не самое большое зло. Гораздо больше ошибок возникает тогда, когда в дробях-слагаемых выделена целая часть.

              Безусловно, для таких дробей существуют собственные алгоритмы сложения и вычитания, но они довольно сложны и требуют долгого изучения. Лучше используйте простую схему, приведенную ниже:

            4. Перевести все дроби, содержащие целую часть, в неправильные. Получим нормальные слагаемые (пусть даже с разными знаменателями), которые считаются по правилам, рассмотренным выше;
            5. Собственно, вычислить сумму или разность полученных дробей. В результате мы практически найдем ответ;
            6. Если это все, что требовалось в задаче, выполняем обратное преобразование, т.е. избавляемся от неправильной дроби, выделяя в ней целую часть.

            Правила перехода к неправильным дробям и выделения целой части подробно описаны в уроке «Что такое числовая дробь». Если не помните — обязательно повторите. Примеры:

            Задача. Найдите значение выражения:

            Здесь все просто. Знаменатели внутри каждого выражения равны, поэтому остается перевести все дроби в неправильные и сосчитать. Имеем:

            Чтобы упростить выкладки, я пропустил некоторые очевидные шаги в последних примерах.

            Небольшое замечание к двум последним примерам, где вычитаются дроби с выделенной целой частью. Минус перед второй дробью означает, что вычитается именно вся дробь, а не только ее целая часть.

            Перечитайте это предложение еще раз, взгляните на примеры — и задумайтесь. Именно здесь начинающие допускают огромное количество ошибок. Такие задачи обожают давать на контрольных работах. Вы также неоднократно встретитесь с ними в тестах к этому уроку, которые будут опубликованы в ближайшее время.

            Резюме: общая схема вычислений

            В заключение приведу общий алгоритм, который поможет найти сумму или разность двух и более дробей:

          • Если в одной или нескольких дробях выделена целая часть, переведите эти дроби в неправильные;
          • Приведите все дроби к общему знаменателю любым удобным для вас способом (если, конечно, этого не сделали составители задач);
          • Сложите или вычтите полученные числа по правилам сложения и вычитания дробей с одинаковыми знаменателями;
          • Если возможно, сократите полученный результат. Если дробь оказалась неправильной, выделите целую часть.
          • Помните, что выделять целую часть лучше в самом конце задачи, непосредственно перед записью ответа.

            www.berdov.com

            Смотрите так же:

            • Земельный налог в актах выполненных работ в рб Журнал."Сметное дело" 04.07 Бюджетные организации В номере: Новации в строительной отрасли в 2018 году. Отдельные ситуации и особенности при проектировании строительства объектов. Порядок проведения государственной экспертизы проектной документации. В номере: Подрядные торги, торги […]
            • Можно ли взять кредит если есть штрафы Дадут ли в банке кредит, если есть долг у судебных приставов Оформить заявку и получить ответ из банка всего за 30 минут→ Если есть долг у судебных приставов, то можно с полной уверенностью сказать, что новый кредит не дадут. Причем даже при полном погашении задолженности, не нужно […]
            • Как и где получить разрешение на перевозку тяжеловесного груза Разрешение на перевозку негабаритного груза по России Перевозки крупногабаритного и тяжеловесного груза регламентируются следующими нормативно-правовыми документами: «Инструкция по перевозке крупногабаритных и тяжеловесных грузов автомобильным транспортом по дорогам Российской […]
            • Приказ кзриз 365 Комитет имущественных отношений Санкт-Петербурга Государственная кадастровая оценка земель и земельный налог Регламент одобрен решением Комиссии по проведению административной реформы в Санкт-Петербурге (протокол № 32 от 24.12.2010), утвержден распоряжением Комитета от 10.02.2011 № […]
            • Ликвидация бюджетного учреждения порядок Ликвидация муниципального учреждения: основания и последствия Жизненный цикл муниципального учреждения регулируется законодательством о создании, реорганизации и ликвидации бюджетных организаций. Владение правовой базой необходимо, чтобы грамотно подготовить документацию об упразднении, […]
            • Исполнительный лист в арбитражном суде г москвы Арбитражный суд города Москвы Разделы сайта Сейчас на сайте Посетителей 490 Арбитражный суд города Москвы информирует об изменении порядка ознакомления с материалами судебных дел, находящихся в производстве суда, выдачи копий судебных актов и выдачи исполнительных листов. Уважаемые […]
            • Пример защиты прав потребителей Защита прав потребителей: особенности и примеры Основные права потребителей и их особенности Согласно положениям гражданского законодательства, если договор (устный или письменный) противоречит нормам права, то такой договор, полностью или в конкретных пунктах, можно признать […]
            • Числа зачисления пенсии Графики выплаты пенсий в России в 2018 году График выплаты пенсий — это актуальная тема для любого гражданина, которому полагаются социальные перечисления. Сразу отметим, что периодичность получения не привязана к определённой дате или дню недели, поэтому может переноситься на ранний или […]