Правило синусов косинусов и тангенсов

Главная / Правило синусов косинусов и тангенсов

Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника.

Приветствую Вас дорогие учащиеся.

Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике?

Это тема не сложная, главное это запомнить правила. И так начнем:

Вспомним, что такое прямоугольный треугольник?

Прямоугольным треугольником, называется треугольник у которого один из углов прямой (составляет 90 градусов). Две стороны которые прилежат к прямому углу, называются катетами, а сторона лежащая напротив прямого угла, называется гипотенузой.

Синус (sin(a)) — это отношение противолежащего катета к гипотенузе;

Косинус (cos(a)) — это отношение прилежащего катета к гипотенузе;

Тангенс (tg(a)) — это отношение противолежащего катета к прилежащему катету;
Другое (равносильное) определение: тангенсом острого угла называется отношение синуса угла к его косинусу;

Котангенс (ctg(a)) — это отношение прилежащего катета к противолежащему.
Другое (равносильное) определение: котангенсом острого угла называется отношение косинуса угла к его синусу;

Пусть дан прямоугольный треугольник ABC с прямым углом C.

Найти sin(a); cos(a); tg(a); ctg(a) Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Аналогично рассуждаем относительно угла B.

Найти sin(b); cos(b); tg(b); ctg(b) Отношение сторон в прямоугольном треугольнике

Пример:

Найти тангенс угла С (tg(C)) треугольника ABC.

Хочешь готовиться к экзаменам бесплатно? Репетитор онлайн бесплатно. Без шуток. ЗДЕСЬ

tutomath.ru

Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника

Этот видеоурок доступен по абонементу

У вас уже есть абонемент? Войти

На этом уроке мы затронем изучение одного из важнейших разделов математики – тригонометрии. Тригонометрия является своеобразным мостиком между алгеброй и геометрией, поскольку в одинаковой степени важна и там, и там. На этом уроке мы начнём «строительство» этого мостика со стороны геометрии, то есть именно из того раздела математики, где впервые возникла задача, которая и привела к появлению тригонометрии. Чуть позже мы расширим понятие тригонометрических функций, а в старших классах узнаем об их «алгебраических корнях». Мы введём понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла, изучим связь между этими величинами и докажем основное тригонометрическое тождество.

Если у вас возникнет сложность в понимании тему, рекомендуем посмотреть уроки:

Повторение основных понятий, связанных с прямоугольным треугольником

На этом уроке мы познакомимся с синусом, косинусом и тангенсом – тригонометрическими функциями, связывающими острый угол прямоугольного треугольника с катетами и гипотенузой этого треугольника. Это очень важные понятия, которые будут встречаться не только в геометрии, но и в алгебре, физике и во многих других науках.

Напомним основные сведения о прямоугольном треугольнике (см. Рис. 1).

;

– катеты; AB=c – гипотенуза.

Также в прямоугольном треугольнике сумма острых углов равна : .

Для прямоугольного треугольника также верна теорема Пифагора: .

Введём теперь понятие синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника.

Определение синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника

Определение

Синусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к гипотенузе.

, .

Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего к этому углу катета к гипотенузе.

, .

Тангенсом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение противолежащего этому углу катета к прилежащему катету.

, .

Связь катетов и гипотенузы, двух катетов через тригонометрические функции угла

С помощью введённых понятий можно находить катеты или гипотенузу.

Например, из формулы: . Аналогично: .

Также можно получить формулу для связи длин двух катетов: .

Связь синуса и косинуса двух острых углов прямоугольного треугольника

При решении задач очень важно знать соотношения между синусом, косинусом и тангенсом острого угла прямоугольного треугольника.

Рассмотрим следующие две формулы: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Аналогично получаем: . Так как сумма острых углов прямоугольного треугольника равна , то формула приобретает следующий вид:

Формула, связывающая тангенс с синусом и косинусом

Докажем теперь важную формулу, связывающую тангенс с синусом и косинусом:

Доказательство независимости значения тригонометрических функций от размеров треугольника

Запишем определение синуса и косинуса острого угла прямоугольного треугольника: , . Тогда: . Доказано.

Аналогично: .

Рассмотрим следующую важную задачу.

Задача

Даны прямоугольные треугольники . Кроме того, .

Доказать:.

(так как оба треугольника прямоугольные с равными острыми углами). Значит, выполняется следующее соотношение: .

Отсюда получаем: .

.

.

Вывод: синус, косинус и тангенс не зависят от треугольника, а зависят только от угла.

Сформулируем и докажем одну из важнейших теорем, связывающих синус и косинус острого угла прямоугольного треугольника, – основное тригонометрическое тождество.

Основное тригонометрическое тождество: .

Примечание:

Доказательство

, тогда: (при доказательстве мы пользовались теоремой Пифагора: ).

Рассмотрим пример, иллюстрирующий связь тригонометрических функций.

Решение примера

Дано: – прямоугольный (), .

Найти:

Решение

Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством: . Подставим в него известное нам значение синуса: . Отсюда: . Так как косинус, по определению, – это отношение катета к гипотенузе, то он может быть только положительным, поэтому: .

Найдём теперь тангенс угла, пользуясь формулой: .

Ответ: .

На этом уроке мы рассмотрели понятия синуса, косинуса и тангенса острого угла прямоугольного треугольника, вывели некоторые их свойства и формулы связи между этими величинами. На следующем уроке мы познакомимся со значениями синуса, косинуса и тангенса для некоторых конкретных значений углов.

Список литературы

  1. Александров А.Д. и др. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2006.
  2. Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  3. Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия, 8 класс. – М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.

Дополнительные рекомендованные ссылки на ресурсы сети Интернет

Домашнее задание

  1. № 133(а-г), 134(а-г), Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия, 8 класс. – М.: Просвещение, 2011.
  2. Найдите синус, косинус и тангенс наименьшего угла египетского треугольника.
  3. Найдите косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника, синус которого равен .
  4. Если вы нашли ошибку или неработающую ссылку, пожалуйста, сообщите нам – сделайте свой вклад в развитие проекта.

    interneturok.ru

    Свойства синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла.

    Определения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла позволяют установить ряд характерных результатов – свойств синуса, косинуса, тангенса и котангенса. В этой статье мы рассмотрим три основных свойства. Первое из них указывает знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α в зависимости от того, углом какой координатной четверти является α . Дальше мы рассмотрим свойство периодичности, устанавливающее неизменность значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла α при изменении этого угла на целое число оборотов. Третье свойство выражает зависимость между значениями синуса, косинуса, тангенса и котангенса противоположных углов α и −α .

    Если же Вас интересуют свойства функций синуса, косинуса, тангенса и котангенса, то их можно изучить в соответствующем разделе статьи основные элементарные функции: их свойства и графики.

    Навигация по странице.

    Знаки синуса, косинуса, тангенса и котангенса по четвертям

    Ниже в этом пункте будет встречаться фраза «угол I , II , III и IV координатной четверти». Объясним, что же это за углы.

    Возьмем единичную окружность, отметим на ней начальную точку А(1, 0) , и повернем ее вокруг точки O на угол α , при этом будем считать, что мы попадем в точку A1(x, y) .

    Говорят, что угол α является углом I , II , III , IV координатной четверти, если точка А1 лежит в I , II , III , IV четверти соответственно; если же угол α таков, что точка A1 лежит на любой из координатных прямых Ox или Oy , то этот угол не принадлежит ни одной из четырех четвертей.

    Для наглядности приведем графическую иллюстрацию. На чертежах ниже изображены углы поворота 30 , −210 , 585 и −45 градусов, которые являются углами I , II , III и IV координатных четвертей соответственно.

    Углы 0, ±90, ±180, ±270, ±360, … градусов не принадлежат ни одной из координатных четвертей.

    Теперь разберемся, какие знаки имеют значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла поворота α в зависимости от того, углом какой четверти является α .

    Для синуса и косинуса это сделать просто.

    По определению синус угла α — это ордината точки А1 . Очевидно, что в I и II координатных четвертях она положительна, а в III и IV четвертях – отрицательна. Таким образом, синус угла α имеет знак плюс в I и II четвертях, а знак минус – в III и VI четвертях.

    В свою очередь косинус угла α — это абсцисса точки A1 . В I и IV четвертях она положительна, а во II и III четвертях – отрицательна. Следовательно, значения косинуса угла α в I и IV четвертях положительны, а во II и III четвертях – отрицательны.

    Чтобы определить знаки по четвертям тангенса и котангенса нужно вспомнить их определения: тангенс – это отношение ординаты точки A1 к абсциссе, а котангенс – отношение абсциссы точки A1 к ординате. Тогда из правил деления чисел с одинаковыми и разными знаками следует, что тангенс и котангенс имеют знак плюс, когда знаки абсциссы и ординаты точки A1 одинаковые, и имеют знак минус – когда знаки абсциссы и ординаты точки A1 различны. Следовательно, тангенс и котангенс угла имеют знак + в I и III координатных четвертях, и знак минус – во II и IV четвертях.

    Действительно, например, в первой четверти и абсцисса x , и ордината y точки A1 положительны, тогда и частное x/y , и частное y/x – положительно, следовательно, тангенс и котангенс имеют знаки + . А во второй четверти абсцисса x – отрицательна, а ордината y – положительна, поэтому и x/y , и y/x – отрицательны, откуда тангенс и котангенс имеют знак минус.

    Переходим к следующему свойству синуса, косинуса, тангенса и котангенса.

    Свойство периодичности

    Сейчас мы разберем, пожалуй, самое очевидное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса угла. Оно состоит в следующем: при изменении угла на целое число полных оборотов значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса этого угла не изменяются.

    Это и понятно: при изменении угла на целое число оборотов мы из начальной точки А всегда будем попадать в точку А1 на единичной окружности, следовательно, значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса остаются неизменными, так как неизменны координаты точки A1 .

    С помощью формул рассматриваемое свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса можно записать так: sin(α+2·π·z)=sinα , cos(α+2·π·z)=cosα , tg(α+2·π·z)=tgα , ctg(α+2·π·z)=ctgα , где α — угол поворота в радианах, z – любое целое число, абсолютная величина которого указывает количество полных оборотов, на которые изменяется угол α , а знак числа z указывает направление поворота.

    Если же угол поворота α задан в градусах, то указанные формулы перепишутся в виде sin(α+360°·z)=sinα , cos(α+360°·z)=cosα , tg(α+360°·z)=tgα , ctg(α+360°·z)=ctgα .

    Приведем примеры использования этого свойства. Например, , так как , а . Вот еще пример: или .

    Рассмотренное свойство синуса, косинуса, тангенса и котангенса иногда называют свойством периодичности.

    Свойства синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов

    Пусть А1 – точка, полученная в результате поворота начальной точки А(1, 0) вокруг точки O на угол α , а точка А2 – это результат поворота точки А на угол −α , противоположный углу α .

    Свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов базируется на достаточно очевидном факте: упомянутые выше точки А1 и А2 либо совпадают (при ), либо располагаются симметрично относительно оси Ox . То есть, если точка A1 имеет координаты (x, y) , то точка А2 будет иметь координаты (x, −y) . Отсюда по определениям синуса, косинуса, тангенса и котангенса записываем равенства и .
    Сопоставляя их, приходим к соотношениям между синусами, косинусами, тангенсами и котангенсами противоположных углов α и −α вида .
    Это и есть рассматриваемое свойство в виде формул.

    Приведем примеры использования этого свойства. Например, справедливы равенства и .

    Остается лишь заметить, что свойство синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов противоположных углов, как и предыдущее свойство, часто используется при вычислении значений синуса, косинуса, тангенса и котангенса, и позволяет полностью уйти от отрицательных углов.

    www.cleverstudents.ru

    Love Soft

    Инструменты пользователя

    Инструменты сайта

    Боковая панель

    Загрузки всякие

    Содержание

    Синус, косинус, тангенс острого угла

    Тригонометрические функции острого угла определяются как отношения сторон прямоугольного треугольника.

    Синус угла х — это отношение противолежащего катета к гипотенузе: $\sin x = a/c$

    Косинус угла х — это отношение прилежащего катета к гипотенузе: $\cos x = b/c$

    Тангенс угла х — это отношение противолежащего катета к прилежащему: $\operatorname x = a/b$

    Котангенс угла х — это отношение прилежащего катета к противолежащему: $\operatorname x = b/a$

    Основное тригонометрическое тождество

    Если мы возьмем гипотенузу, равную 1, то это определение можно упростить до:

    Тогда теорему Пифагора можно переформулировать так:

    $$(\sin \alpha)^2 + (\cos \alpha)^2 = 1$$

    Или другая форма записи без скобок:

    $$\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$$

    Формулы приведения для острого угла

    Катет, прилежащий одному углу, одновременно является противолежащим другому углу. В сумме острые углы прямоугольного треугольника составляют 90 градусов. Отсюда: $$\sin \alpha = \cos \beta = \sin (90^\circ — \alpha)$$ $$\cos \alpha = \sin \beta = \cos (90^\circ — \alpha)$$

    Возрастание и убывание

    Чем больше угол, тем больше противолежащий катет, поэтому для острых углов синус — возрастающая функция.

    Чем больше один из острых углов прямоугольного треугольника, тем меньше другой. Отсюда следует, с учетом ОТТ, для этих углов:

    Мнемоническое правило

    Правило для косинуса

    Косинус — коснуться — близкий — прилежащий (или косинус — касаться — прилегать).

    Синусу не остается ничего другого, кроме «противолежать».

    Тангенс — это отношение противолежащего катета к прилежащему, или дальнего к ближнему. Тангенс — там — противолежащий.

    — Сначала запоминаем, что синус и косинус «дружат» с гипотенузой. То есть в их определение она есть обязательно. — Слово «косинус» длиннее, чем «синус». — Слово «противолежащий» длиннее, чем слово «прилежащий». — Используем ассоциации «коротко — длинно».

    «Длинный» косинус в паре с «коротким» прилежащим катетом, «короткий» синус в паре с «длинным» противолежащим катетом.

    Тангенс и танго — однокоренные слова

    tangere — на позднелатинском означало «касаться»

    tangent, tangens — причастие от этого глагола. Если вспомнить русское слово «касательная» и тот известный (некоторым…) факт, что производная — это как раз тангенс угла наклона касательной, связь становится очевидной.

    Слово «танго», как полагают специалисты, имеет африканское происхождение и означает «место встречи» или «особое место». Однако существует и другое мнение, в частности, что название происходит от латинского слова «tango» — «касаюсь». История танго в Аргентине насчитывает более 100 лет.

    Правило для ОТТ

    В семье Синичкиных (Sin) праздник. К ним в отпуск приезжает дочка с мужем, семья Косичкиных (Cos). Вот двое Синичкиных радостно бегут навстречу Косичкиным. Они обнимаются (+). И образуют одну большую семью: 1.

    Синус в строительстве

    Возьмите 10-метровый столб и поднимите его с земли на 45 градусов. Верхушка столба будет находиться на высоте

    А 8-метровый столб будет на высоте

    Подобные манипуляции со столбами очень полезны в строительстве (пирамиды сами себя не рассчитают). К сожалению, спустя тысячи лет у нас твердо закрепилась мысль, что смысл синуса в возможности вычислить высоту треугольника по гипотенузе и углу. Для краткости мыслительного процесса думаем «синус=высота». Это нормально, главное не застревать на этом, а смотреть шире.

    Расчеты в Excel

    Пусть известно расстояние до дерева. Нужно узнать его высоту:

    Указываем угол в градусах. В формуле угол необходимо перевести в радианы — функция RADIANS (в русской версии РАДИАНЫ ). Обратная функция DEGREES ( ГРАДУСЫ ).

    xlench.bget.ru

    Смотрите так же:

    • Приказ на сокращение вакансий Приказ о сокращение штата работников. Образец и бланк На каждом предприятии может возникнуть ситуация, когда необходимо оформить приказ о сокращение штата работников. Образец и бланк такого документа должен находиться в отделе кадров предприятия. Сокращение штата работников – это […]
    • Правила байкеров для девушек «Села — дала! Уронил — женился!» и другие факты об уфимских байкерах Встречный ветер в лицо, бескрайний простор, ощущение свободы и адреналина. Да, вот такая она — байкерская жизнь, насыщенная и яркая. Весь мир байкеров лежит возле двухколесного железного коня. Артур Валеев рассказал […]
    • Сумма материнского капитала на 2018г Установлен размер маткапитала в 2017 и 2018 гг. В 2016 году индексации не будет Размер материнского капитала, который будет выплачиваться в 2017 и 2018 годах проиндексируют. Как следует из пояснительной записки, размер выплат должен составить в 2017 году 480 тыс. руб., в 2018 году — 505 […]
    • Приказ 186 от 05061998 с изменениями Приказ ГИБДД МВД 186-е наставление совершенствования деятельности ДПС Для улучшения деятельности ДПС Государственной инспекции безопасности дорожного движения МВД России издает приказ № 186 от 2 марта 2009 года, в котором излагает меры повышения эффективной работы службы. Суть приказа и […]
    • Разрешение жилищных споров жилищное право Разрешение жилищных споров жилищное право //// Жилищные споры относятся к категории наиболее сложных судебных дел. Поэтому, жилищные споры относятся к категории споров, в которых квалификация и опыт юриста играют важную роль. //// Споры, связанные с жильём, наиболее сложные и требуют […]
    • Обставина мети правило Обставина мети правило Гіпермаркет Знань>>Українська мова>>Українська мова 5 клас>>Українська мова 5 клас>> Другорядні члени речення: додаток, означення, обставина. Способи їх вираження різними частинами мови Прочитайте уривок вірша. Знайдіть у ньому назви другорядних членів […]
    • Нотариус пркосмонавтов Нотариус ростов-на-дону воскресенье Нотариус Ростов на дону Ворошиловский район 7 нотариусов работают в Ворошиловском районе. Из низ пятеро работают по субботам, в воскресенье рабочих дней у нотариусов по Ворошиловскому району нет. Фолосян Ирина ВикторовнаТелефон: +7(863) 299-65-50Адрес: […]
    • Нотариус кировский район ростов-на-дону Нотариусы по наследственным делам Уфа Кировский район По состоянию на текущий момент в Кировском районе Уфы ведут деятельность 13 нотариусов. Из них 12 правомочны вести дела, связанные со вступлением в наследство. Как мы с вами помним, для упрощения доступа к архивам и улучшения […]