Правила производная сложной функции

Главная / Правила производная сложной функции

Производная сложной функции.

Функции сложного вида не совсем корректно называть термином «сложная функция». К примеру, смотрится очень внушительно, но сложной эта функция не является, в отличие от .

В этой статье мы разберемся с понятием сложной функции, научимся выявлять ее в составе элементарных функций, дадим формулу нахождения ее производной и подробно рассмотрим решение характерных примеров.

При решении примеров будем постоянно использовать таблицу производных и правила дифференцирования, так что держите их перед глазами.

Сложная функция – это функция, аргументом которой также является функция.

С нашей точки зрения, это определение наиболее понятно. Условно можно обозначать как f(g(x)) . То есть, g(x) как бы аргумент функции f(g(x)) .

К примеру, пусть f – функция арктангенса, а g(x) = lnx есть функция натурального логарифма, тогда сложная функция f(g(x)) представляет собой arctg(lnx) . Еще пример: f – функция возведения в четвертую степень, а — целая рациональная функция (смотрите классификацию элементарных функций), тогда .

В свою очередь, g(x) также может быть сложной функцией. Например, . Условно такое выражение можно обозначить как . Здесь f – функция синуса, — функция извлечения квадратного корня, — дробная рациональная функция. Логично предположить, что степень вложенности функций может быть любым конечным натуральным числом .

Часто можно слышать, что сложную функцию называют композицией функций.

Формула нахождения производной сложной функции.

Найти производную сложной функции .

В данном примере f – функция возведения в квадрат, а g(x) = 2x+1 – линейная функция.

Вот подробное решение с использованием формулы производной сложной функции:

Давайте найдем эту производную, предварительно упростив вид исходной функции.

Следовательно,

Как видите, результаты совпадают.

Постарайтесь не путать, какая функция есть f , а какая g(x) .

Поясним это примером на внимательность.

Найти производные сложных функций и .

В первом случае f – это функция возведения в квадрат, а g(x) – функция синуса, поэтому
.

Во втором случае f – это функция синуса, а — степенная функция. Следовательно, по формуле произведения сложной функции имеем

Формула производной для функции имеет вид

Продифференцировать функцию .

В этом примере сложную функцию можно условно записать как , где — функция синуса, функция возведения в третью степень, функция логарифмирования по основанию e , функция взятия арктангенса и линейная функция соответственно.

По формуле производной сложной функции

  1. как производную синуса из таблицы производных:
  2. — как производную степенной функции:
  3. — как производную логарифмической функции:
  4. — как производную арктангенса:
  5. При дифференцировании выносим двойку за знак производной и применяем формулу производной степенной функции с показателем равным единице:

Собираем воедино полученные промежуточные результаты:

Страшного ничего нет, разбирайте сложные функции как матрешки.

На этом можно было бы и закончить статью, если бы ни одно но…

Желательно отчетливо понимать, когда применять правила дифференцирования и таблицу производных, а когда формулу производной сложной функции.

СЕЙЧАС БУДЬТЕ ОСОБЕННО ВНИМАТЕЛЬНЫ. Мы поговорим об отличии функций сложного вида от сложных функций. От того, насколько Вы видите это различие, и будет зависеть успех при нахождении производных.

Начнем с простых примеров. Функцию можно рассматривать как сложную: g(x) = tgx , . Следовательно, можно сразу применять формулу производной сложной функции

А вот функцию сложной уже назвать нельзя.

Эта функция представляет собой сумму трех функций , 3tgx и 1 . Хотя — представляет собой сложную функцию: — степенная функция (квадратичная парабола), а f – функция тангенса. Поэтому, сначала применяем формулу дифференцирования суммы:

Осталось найти производную сложной функции :

Поэтому .

Надеемся, что суть Вы уловили.

Если смотреть более широко, то можно утверждать, что функции сложного вида могут входить в состав сложных функций и сложные функции могут быть составными частями функций сложного вида.

В качестве примера разберем по составным частям функцию .

Во-первых, это сложная функция, которую можно представить в виде , где f – функция логарифмирования по основанию 3 , а g(x) есть сумма двух функций и . То есть, .

Во-вторых, займемся функцией h(x) . Она представляет собой отношение к .

— это сумма двух функций и , где — сложная функция с числовым коэффициентом 3 . — функция возведения в куб, — функция косинуса, — линейная функция.

— это сумма двух функций и , где — сложная функция, — функция экспоненцирования, — степенная функция.

Таким образом, .

В-третьих, переходим к , которая представляет собой произведение сложной функции и целой рациональной функции

— функция возведения в квадрат, — функция логарифмирования по основанию e .

Следовательно, .

Подытожим:

Теперь структура функции понятна и стало видно, какие формулы и в какой последовательности применять при ее дифференцировании.

В разделе дифференцирование функции (нахождение производной) Вы можете ознакомиться с решением подобных задач.

www.cleverstudents.ru

Примеры применения формулы производной сложной функции

Здесь мы приводим примеры вычисления производных от следующих функций:
; ; ; ; .

Если функцию можно представить как сложную функцию в следующем виде:
,
то ее производная определяется по формуле:
.
В приводимых ниже примерах, мы будем записывать эту формулу в следующем виде:
.
где .
Здесь нижние индексы или , расположенные под знаком производной, обозначают переменные, по которой выполняется дифференцирование.

Обычно, в таблицах производных, приводятся производные функций от переменной x . Однако x – это формальный параметр. Переменную x можно заменить любой другой переменной. Поэтому, при дифференцировании функции от переменной , мы просто меняем, в таблице производных, переменную x на переменную u .

Простые примеры

Найти производную сложной функции
.

Запишем заданную функцию в эквивалентном виде:
.
В таблице производных находим:
;
.

По формуле производной сложной функции имеем:
.
Здесь .

Выносим постоянную 5 за знак производной и из таблицы производных находим:
.

Применяем формулу производной сложной функции:
.
Здесь .

Выносим постоянную –1 за знак производной и из таблицы производных находим:
;
Из таблицы производных находим:
.

Более сложные примеры

В более сложных примерах мы применяем правило дифференцирования сложной функции несколько раз. При этом мы вычисляем производную с конца. То есть разбиваем функцию на составные части и находим производные самых простых частей, используя таблицу производных . Также мы применяем правила дифференцирования суммы , произведения и дроби . Затем делаем подстановки и применяем формулу производной сложной функции.

Выделим самую простую часть формулы и найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.

.
Здесь мы использовали обозначение
.

Находим производную следующей части исходной функции, применяя полученные результаты. Применяем правило дифференцирования суммы:
.

Еще раз применяем правило дифференцирования сложной функции.

Найдите производную функции
.

Выделим самую простую часть формулы и из таблицы производных найдем ее производную. .

Применяем правило дифференцирования сложной функции.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть, применяя полученные результаты.
.
Здесь
.

Дифференцируем следующую часть.

Теперь находим производную искомой функции.

Автор: Олег Одинцов . Опубликовано: 19-11-2016

1cov-edu.ru

Производная сложной функции

Понятие производной сложной функции

Если g(x) и f(u) – дифференцируемые функции своих аргументов соответственно в точках x и u = g(x), то сложная функция также дифференцируема в точке x и находится по формуле

Типичная ошибка при решении задач на производные — машинальное перенесение правил дифференцирования простых функций на сложные функции. Будем учиться избегать этой ошибки.

Посмотрите на формулу 9 в таблице производных. Исходная функция является функцией от функции, причём аргумент x является аргументом лишь второй функции, а вторая функция является аргументом первой функции, или, согласно более строгому определению — промежуточным аргументом по независимой переменной x.

А теперь посмотрите на картинку ниже, которая иллюстрирует решение задач на сложные производные по аналогии с простым примером из кулинарии — приготовлении запечёных яблок, фаршированных ягодами.

Итак, «яблоко» — это функция, аргументом которой является промежуточный аргумент, а промежуточный аргумент по независимой переменной x, в свою очередь, является «фаршем» (ягодами). Представим себе, что решая задачи на производные сложной функции, сначала помещаем яблоко с фаршем в особую (физико-математическую) духовку и устанавливаем режим 1. При таком режиме духовка воздействует только на «яблоко», поскольку нужно, допустим, больше пропечь яблоко, а фарш из ягод оставить более сочным, то есть обрабатывать в другом режиме. Итак, в при режиме 1 обрабатывается яблоко, а фарш остаётся незатронутым, или, ближе к нашим задачам, находим производную функции лишь от промежуточного аргумента, то есть, «яблока». Затем в духовке устанавливается режим 2, который воздействует только на фарш, иначе говоря, записываем производную функции, являющейся промежуточным аргументом по независимой переменной x. И, в конце концов, записываем произведение производной «яблока» и производной «фарша». Можно подавать!

Пример 1.Найти производную функции

Сначала определим, где здесь «яблоко», то есть функция по промежуточному аргументу u, а где «фарш», то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x. Определяем: возведение в степень — это функция по промежуточному аргументу, то есть «яблоко», а выражение в скобках (разность двух тригонометрических функций) — это промежуточный аргумент, то есть «фарш».

Далее по таблице производных (производная суммы или разности, производные синуса и косинуса) находим:

Требуемая в условии задачи производная (готовое «фаршированое яблоко»):

Нахождение производной сложной логарифмической функции имеет свои особенности, поэтому у нас есть и урок «Производная логарифмической функции».

Пример 2.Найти производную функции

Неправильное решение: вычислять натуральный логарифм каждого слагаемого в скобках и искать сумму производных:

Правильное решение: опять определяем, где «яблоко», а где «фарш». Здесь натуральный логарифм от выражения в скобках — это «яблоко», то есть функция по промежуточному аргументу u, а выражение в скобках — «фарш», то есть промежуточный аргумент u по независимой переменной x.

Тогда (применяя формулу 14 из таблицы производных)

Во многих реальных задачах выражение с логарифмом бывает несколько сложнее, поэтому и есть урок «Производная логарифмической функции».

Пример 3.Найти производную функции

Правильное решение. В очередной раз определяем, где «яблоко», а где «фарш». Здесь косинус от выражения в скобках (формула 7 в таблице производных)- это «яблоко», оно готовится в режиме 1, воздействующем только на него, а выражение в скобках (производная степени — номер 3 в таблице производных) — это «фарш», он готовится при режиме 2, воздействующей только на него. И как всегда соединяем две производные знаком произведения. Результат:

Производная сложной логарифмической функции — частое задание на контрольных работах, поэтому настоятельно рекомендуем посетить урок «Производная логарифмической функции».

Первые примеры были на сложные функции, в которых промежуточный аргумент по независимой переменной был простой функцией. Но в практических заданиях нередко требуется найти производную сложной функции, где промежуточный аргумент или сам является сложной функцией или содержит такую функцию. Что делать в таких случаях? Находить производные таких функций по таблицам и правилам дифференцирования. Когда найдена производная промежуточного аргумента, она просто подставляется в нужное место формулы. Ниже – два примера, как это делается.

Кроме того, полезно знать следующее. Если сложная функция может быть представлена в виде цепочки из трёх функций

,

то её производную следует находить как произведение производных каждой из этих функций:

.

Для решения многих ваших домашних заданий может потребоваться открыть в новых окнах пособия Действия со степенями и корнями и Действия с дробями.

Пример 4.Найти производную функции

Применяем правило дифференцирования сложной функции, не забывая, что в полученном произведении производных промежуточный аргумент по независимой переменной x не меняется:

Готовим второй сомножитель произведения и применяем правило дифференцирования суммы:

Второе слагаемое — корень, поэтому

Таким образом получили, что промежуточный аргумент, являющийся суммой, в качестве одного из слагаемых содержит сложную функцию: возведение в степень — сложная функция, а то, что возводится в степень — промежуточный аргумент по независимой переменной x.

Поэтому вновь применим правило дифференцирования сложной функции:

Степень первого сомножителя преобразуем в корень, а дифференцируя второй сомножитель, не забываем, что производная константы равна нулю:

Теперь можем найти производную промежуточного аргумента, нужного для вычисления требуемой в условии задачи производной сложной функции y:

Пример 5.Найти производную функции

Сначала воспользуемся правилом дифференцирования суммы:

Получили сумму производных двух сложных функций. Находим первую из них:

Здесь возведение синуса в степень — сложная функция, а сам синус — промежуточный аргумент по независимой переменной x. Поэтому воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции, попутно вынося множитель за скобки:

Теперь находим второе слагаемое из образующих производную функции y:

Здесь возведение косинуса в степень — сложная функция f[g(x)], а сам косинус — промежуточный аргумент по независимой переменной x. Снова воспользуемся правилом дифференцирования сложной функции:

Результат — требуемая производная:

Таблица производных некоторых сложных функций

Для сложных функций на основании правила дифференцирования сложной функции формула производной простой функции принимает другой вид.

function-x.ru

Дифференцирование сложной функции

Цепное правило (правило дифференцирования сложной функции) позволяет вычислить производную композиции двух и более функций на основе индивидуальных производных.

Содержание

Одномерный случай Править

Пусть даны функции, определённые в окрестностях на числовой прямой, $ f:U(x_0) \to V(y_0), $ где $ y_0 = f(x_0), $ и $ g:V(y_0) \to \mathbb $ Пусть также эти функции дифференцируемы: $ f\in \mathcal(x_0),\; g \in \mathcal(y_0). $ Тогда их композиция также дифференцируема: $ h = g \circ f \in \mathcal(x_0), $ и её производная имеет вид:

$ h'(x_0) = g’\bigl( f(x_0) \bigr) \cdot f'(x_0). $

Замечание Править

В обозначениях Лейбница цепное правило для вычисления производной функции, где $ x = x(t), $ принимает следующий вид:

Инвариантность формы первого дифференциала Править

Дифференциал функции $ z = g(y) $ в точке $ y_0 $ имеет вид:

где $ dy $ — дифференциал тождественного отображения $ y \to y $ :

$ dy(h) = h,\quad h \in \mathbb. $

Пусть теперь $ y = f(x),\; x \in U(x_0),\; f\in \mathcal(x_0). $ Тогда $ dy = f'(x_0)\, dx $ , и согласно цепному правилу:

$ dz = g’\bigl(f(x_0)\bigr) \cdot f'(x_0)\, dx = g'(y_0) \, dy. $

Таким образом форма первого дифференциала остаётся одной и той же вне зависимости от того, является ли независимая переменная функцией или нет.

Пример Править

Пусть $ h(x) = (3x^2 — 5x)^7. $ Тогда функция $ h $ может быть записана в виде композиции $ h = g \circ f, $ где

Дифференцируя эти фунем

$ h'(x) = 7(3x^2-5x)^6 \cdot (6x-5). $

Многомерный случай Править

Пусть даны функции $ f:U(x_0) \subset \mathbb^m \to V(y_0) \subset \mathbb^n, $ где $ y_0 = f(x_0), $ и $ g:V(y_0) \subset \mathbb^n \to \mathbb^p. $ Пусть также эти функции дифференцируемы: $ f\in \mathcal(x_0) $ и $ g \in \mathcal(y_0). $ Тогда их композиция тоже дифференцируема, и её дифференциал имеет вид

$ dh(x_0) = dg(y_0) \circ df(x_0). $

В частности, матрица Якоби функции $ h $ является произведением матриц Якоби функций $ g $ и $ f: $

$ J_(x_0) = J_g(y_0) \cdot J_f(x_0). $

Следствия Править

  • Якобиан композиции двух функций является произведением якобианов индивидуальных функций: $ \left\vert\frac<\partial(h_1,\ldots, h_p)><\partial(x_1,\ldots,x_m)>\right\vert = \left\vert\frac<\partial(h_1,\ldots, h_p)><\partial(y_1,\ldots,y_n)>\right\vert \cdot \left\vert\frac<\partial(y_1,\ldots, y_n)><\partial(x_1,\ldots,x_m)>\right\vert. $
  • Для частных производных сложной функции справедливо $ \frac<\partial h(x_0)><\partial x_j>= \sum\limits_^n \frac<\partial g(y_0)><\partial y_i>\frac<\partial y_i><\partial x_j>,\quad j=1,\ldots m. $ или в обозначениях Лейбница $ \frac<\partial z><\partial x_j>= \sum\limits_^n \frac<\partial z><\partial y_i>\frac<\partial y_i><\partial x_j>,\quad j=1,\ldots,m. $
  • (Формула полной производной) Пусть $ f(t,y_1,\ldots,y_m):\mathbb^ \to \mathbb, $ где $ y_j = y_j(t,x_1,\ldots,x_n),\; j=1,\ldots m. $ Тогда $ \frac
    = \frac<\partial f><\partial t>+ \sum\limits_^n \frac<\partial f><\partial y_i>\frac. $
  • Пусть $ z = g(y),\quad y\in V(y_0) \subset \mathbb^n, $ и $ g \in \mathcal(y_0). $ Тогда дифференциал функции $ g $ в точке $ y_0 $ имеет вид

    где $ dy(h) = h,\quad h \in \mathbb^n $ — дифференциал тождественного отображения. Пусть теперь $ y = f(x),\; x\in U(x_0)\subset \mathbb^m,\; f\in \mathcal(x_0), $ и $ y_0 = f(x_0). $ Тогда $ dy = J_f(x_0)\, dx, $ и $ z=g \circ f(x),\quad x \in U(x_0). $ Согласно цепному правилу

    $ dz = J_(x_0)\, dx = J_g(y_0) J_f(x_0)\, dx = J_(y_0)\, dy. $

    Таким образом форма записи первого дифференциала не зависит от того, является ли аргумент независимой переменной или дифференцируемой функцией.

    Примеры Править

    • Пусть $ \bigl(x(t),y(t)\bigr) = ( \cos t, \sin t ), $ и $ f(x,y) = x^2 — y^2. $ Тогда $ \frac
      = \frac<\partial f><\partial x>\frac<\partial x><\partial t>+ \frac<\partial f><\partial y>\frac<\partial y><\partial t>= 2 \cos t (-\sin t) — 2 \sin t \cos t = -4 \sin t \cos t = -2 \sin 2t. $
    • Пусть $ f(x,y) = xy, $ и $ x(u,v) = u^2 v,\; y(u,v) = v^3. $ Тогда $ \frac<\partial f><\partial u>= \frac<\partial f><\partial x>\frac<\partial x><\partial u>+ \frac<\partial f><\partial y>\frac<\partial y><\partial u>= v^3 \cdot 2 uv + u^2 v \cdot 0 = 2uv^4; $ $ \frac<\partial f><\partial v>= \frac<\partial f><\partial x>\frac<\partial x><\partial v>+ \frac<\partial f><\partial y>\frac<\partial y><\partial v>= v^3 u^2 + u^2 v\cdot 3v^2 = 4 u^2 v^3. $
    • Эта статья содержит материал из статьи Дифференцирование сложной функции русской Википедии.

      ru.math.wikia.com

      Смотрите так же:

      • Ставка налогов в англии Налоговая система в Великобритании, налогообложение в Англии, налоги в Англии Cовременная система подоходного налогообложения в Великобритании была заложена реформой 1973 г. В результате этой реформы подоходный налог был унифицирован и приведен в стройную единую систему. Субъекты […]
      • Ремесленничество налог Как стать ремесленником: пошаговая инструкция для тех, кто решил превратить хобби в заработок Как стать ремесленником и какие виды деятельности могут считаться ремеслом, объяснили в федерации профсоюзов Беларуси. Фото: Дмитрий Брушко, TUT.BY. Фото носит иллюстративный характер Как […]
      • Красноярск юрист жкх Юрист по ЖКХ Красноярск Гражданину, проживающему в многоквартирном доме, никак не избежать отношений с коммунальными службами, поскольку именно эти службы обеспечивают его теплом, электроэнергией, холодной и горячей водой. К сожалению, не все коммунальные службы и управляющие компании […]
      • Производная функции правила нахождения Найти производную: алгоритм и примеры решений Операция отыскания производной называется дифференцированием. В результате решения задач об отыскании производных у самых простых (и не очень простых) функций по определению производной как предела отношения приращения к приращению аргумента […]
      • Возврат налога нерезидентам НДФЛ иностранцев: от 30 к 13 Пересчитывать НДФЛ для граждан, получивших статус резидента, можно только за отчетный год. Что же касается российских граждан, ставших нерезидентами, то у них НДФЛ облагаются только премии, отпускные и компенсации. В настоящее время организации всe чаще и […]
      • Когда при увольнении выплачивают отпускные Увольнение по собственному желанию Увольнение по собственному желанию (другими словами, по инициативе работника) - одно из самых распространенных оснований расторжения трудового договора. Инициатива прекращения трудовых отношений исходит от работника и не предполагает ее одобрения […]
      • Где оформлять доверенность на получение пенсии ЧТО ВАЖНО ЗНАТЬ О НОВОМ ЗАКОНОПРОЕКТЕ О ПЕНСИЯХ Подписка на новости Письмо для подтверждения подписки отправлено на указанный вами e-mail. 15 ноября 2017 ОПФР по г.Севастополю уведомляет — в ситуациях, когда пенсионер не может забирать пенсию самостоятельно на почте или дома, согласно […]
      • Примеры административных споров Административные правоотношения Основой для возникновения административных правоотношений служит наличие административного права, в рамках которого управленческие правоотношения начинают позиционироваться как административно-правовые. Чтобы административные правоотношения могли […]