Правила окружности вписанной в треугольник

Главная / Правила окружности вписанной в треугольник

wiki.eduVdom.com

Инструменты пользователя

Инструменты сайта

Боковая панель

Геометрия:

Контакты

Вписанная и описанная окружности

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех его сторон.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через все его вершины.

Теорема 1. Центр окружности, вписанной в треугольник, является точкой пересечения его биссектрис.

Доказательство. Пусть ABC — данный треугольник, О — центр вписанной в него окружности, D, Е и F — точки касания окружности со сторонами (рис.1).

Прямоугольные треугольники AOD и АОЕ равны по гипотенузе и катету. У них гипотенуза АО общая, а катеты OD и ОЕ равны как радиусы. Из равенства треугольников следует равенство углов OAD и ОАЕ. А это значит, что точка О лежит на биссектрисе треугольника, проведенной из вершины А. Точно так же доказывается, что точка О лежит на двух других биссектрисах треугольника. Теорема доказана.

В случае описанной окружности имеет место следующая теорема.

Теорема 2. Центр окружности, описанной около треугольника, лежит на пересечении серединных перпендикуляров к сторонам треугольника (рис.2).

Пример 1. Найти радиус окружности r, вписанной в равносторонний треугольник ABC со стороной а.

Решение. В силу [свойства_равнобедренного_треугольника|теоремы 2] в равностороннем треугольнике каждая биссектриса является одновременно медианой и высотой. Поэтому центр О вписанной окружности лежит в точке пересечения медиан, которая делит каждую медиану в отношении 2:1, считая от вершины (пример 5).

Из прямоугольного треугольника ACD (рис.3) согласно теореме Пифагора имеем: $$ AC^2 = AD^2 + CD^2\text< , или >CD^2 = AC^2 — AD^2 \\ \text <, откуда >\\ CD^2 = a^2 — \frac <4>= \frac<3a^2> <4>\\ \text < и, значит, >\\ CD^2 = \frac < a\sqrt<3>> <2>\\ \text< . Поэтому >r = \frac > <6>$$

Пример 2. В прямоугольном треугольнике катеты равны 12 и 16 см. Вычислить радиус описанной окружности.

Решение. Центр описанной около прямоугольного треугольника окружности совпадает с серединой гипотенузы, откуда радиус описанной окружности $R = \frac<1> <2>АВ$ (рис.4).

По теореме Пифагора $$ АВ^2 = АС^2 + СВ^2 \text < или Рис.4 >\\ АВ^2 =16^2 + 12^2 = 400 \\ \text< откуда >АВ = \sqrt <400>= 20\text< и, значит, >R = 10\text < (см).>$$

Пример 3. Основание AC равнобедренного треугольника ABC равна 12. Окружность с центром вне этого треугольника имеет радиус 8 и касается продолжения боковых сторон треугольника ABC: BC и BA, а также касается основания AC в его середине. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

wiki.eduvdom.com

Вписанные и описанные треугольники. Еще две формулы площади треугольника. Теорема синусов

Вписанный треугольник — треугольник, все вершины которого лежат на окружности. Тогда окружность называется описанной вокруг треугольника.

Очевидно, расстояние от центра описанной окружности до каждой из вершин треугольника одинаково и равно радиусу этой окружности.

Вокруг любого треугольника можно описать окружность, причем только одну.

Окружность вписана в треугольник, если она касается всех его сторон. Тогда сам треугольник будет описанным вокруг окружности. Расстояние от центра вписанной окружности до каждой из сторон треугольника равно радиусу этой окружности.

В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну.

Попробуйте сами описать окружность вокруг треугольника и вписать окружность в треугольник.

Как вы думаете, почему центр вписанной окружности — это точка пересечения биссектрис треугольника, а центр описанной окружности — точка пересечения серединных перпендикуляров к его сторонам?

В задачах ЕГЭ чаще всего встречаются вписанные и описанные правильные треугольники.

Есть и другие задачи. Для их решения вам понадобятся еще две формулы площади треугольника, а также теорема синусов.

Вот еще две формулы для площади.
Площадь треугольника равна половине произведения его периметра на радиус вписанной окружности.

— радиус окружности, вписанной в треугольник.

Есть и еще одна формула, применяемая в основном в задачах части :

где — стороны треугольника, — радиус описанной окружности.

Для любого треугольника верна теорема синусов:

Ты нашел то, что искал? Поделись с друзьями!

. Радиус окружности, вписанной в равнобедренный прямоугольный треугольник, равен . Найдите гипотенузу c этого треугольника. В ответе укажите .

Треугольник прямоугольный и равнобедренный. Значит, его катеты одинаковы. Пусть каждый катет равен . Тогда гипотенуза равна .

Запишем площадь треугольника АВС двумя способами:

Приравняв эти выражения, получим, что . Поскольку , получаем, что . Тогда .

В ответ запишем .

. Сторона АС треугольника АВС с тупым углом В равна радиусу описанной около него окружности. Найдите угол В. Ответ дайте в градусах.

По теореме синусов,

Получаем, что . Угол — тупой. Значит, он равен .

. Боковые стороны равнобедренного треугольника равны , основание равно . Найдите радиус описанной окружности этого треугольника.

Углы треугольника не даны. Что ж, выразим его площадь двумя разными способами.

, где — высота треугольника. Ее найти несложно — ведь в равнобедренном треугольнике высота является также и медианой, то есть делит сторону пополам. По теореме Пифагора найдем . Тогда .

Задачи на вписанные и описанные треугольники особенно необходимы тем, кто нацелен на решения задания .

ege-study.ru

Правила окружности вписанной в треугольник

Ключевые слова: окружность, описанная окружность, центр окружности, вписанная окружность, треугольник, четырехугольник, вневписанная окружность

Окружность называется вписанной в угол, если она лежит внутри угла и касается его сторон.

Центр окружности, вписанной в угол, лежит на биссектрисе этого угла.

Окружность называется вписанной в выпуклый многоугольник, если она лежит внутри данного многоугольника и касается всех прямых, проходящих через его стороны.

Если в данный выпуклый многоугольник можно вписать окружность, то биссектрисы всех углов данного многоугольника пересекаются в одной точке, которая является центром вписанной окружности.
Сам многоугольник в таком случае называется описанным около данной окружности.
Таким образом, в выпуклый многоугольник можно вписать не более одной окружности.

Для произвольного многоугольника невозможно вписать в него и описать около него окружность.
Для треуголь ника это всегда возможно.

Окружность называется вписанной в треугольник, если она касается всех трех его сторон, а её центр находится внутри окружности

  • Центр вписанной в треугольник окружности лежит на пересечении биссектрис внутренних углов треугольника.
  • В любой треугольник можно вписать окружность, и только одну.
  • Радиус вписанной в треугольник окружности равен отношению площади треугольника и его полупериметра: $$r = \frac

    $$ , где S — площадь треугольника, а $$p =\frac<2>$$ — полупериметр треугольника.

Серединным перпендикуляром называют прямую перпендикулярную отрезку и проходящую через его середину.

Окружность называется описанной около треугольника, если она проходит через три его вершины.

  • Вокруг любого треугольника можно описать окружность, и только одну.
  • В любом треугольнике сторона равна произведению диаметра описанной окружности и синуса противолежащего угла.
  • Площадь треугольника равна отношению произведения длин всех его сторон к учетверенному радиусу окружности, описанной около этого треугольника: $$R =\frac<4S>$$, где S — площадь треугольника.
  • Центр вневписанной окружности лежит на пересечении биссектрис внешних углов, при вершинах касаемой стороны, и биссектрисы угла при третей вершине.
  • Окружность, вписанная в прямоугольный треугольник

  • Радиус вписанной окружности находят по формулам: $$r = \frac$$, и $$r = \frac<2>$$, где a и b катеты прямоугольного треугольника, а c гипотенуза прямоугольного треугольника.
  • Окружность, описанная около прямоугольного треугольника

  • Центр описанной окружности совпадает с серединой гипотенузы.
  • Радиус равен половине гипотенузы: $$R = \frac<2>$$.
  • Радиус равен медиане, проведенной к гипотенузе: $$R = m_$$.
  • Четырехугольник, вписанный в окружность

    • Четырехугольник можно вписать в окружность, если сумма противолежащих углов равна $$180^\circ: \alpha + \beta + \gamma +\delta = 180^\circ$$.
    • Если четырехугольник вписан в окружность, то суммы противолежащих углов равны $$180^\circ$$.
    • Сумма произведений противолежащих сторон четырехугольника ABCD равна произведению диагоналей: $$AB\cdot DC + AD \cdot BC = BD \cdot AC$$.
    • Площадь: $$S = \sqrt<(p-a)(p-b)(p-c)(p-d)>$$, где $$p = \frac<2>$$ — полупериметр четырехугольника.

    Окружность, вписанная в ромб

  • В любой ромб можно вписать окружность.
  • Радиус r вписанной окружности: $$r = \frac<2>$$, где h — высота ромба или $$r = \frac \cdot d_<2>><4a>$$, где a — сторона ромба, d1 и d2 — диагонали ромба.
  • uztest.ru

    Окружность, вписанная в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Существование окружности, вписанной в треугольник. Основное свойство биссектрисы угла

    Определение 1 . Биссектрисой угла называют луч, делящий угол на две равные части.

    Теорема 1 (Основное свойство биссектрисы угла) . Каждая точка биссектрисы угла находится на одном и том же расстоянии от сторон угла (рис.1).

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую на биссектрисе угла BAC , и опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.1). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны острые углы DAF и DAE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    что и требовалось доказать.

    Теорема 2 (обратная теорема к теореме 1) . Если некоторая точка находится на одном и том же расстоянии от сторон угла, то она лежит на биссектрисе угла (рис.2).

    Доказательство . Рассмотрим произвольную точку D , лежащую внутри угла BAC и находящуюся на одном и том же расстоянии от сторон угла. Опустим из точки D перпендикуляры DE и DF на стороны угла (рис.2). Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE , а гипотенуза AD – общая. Следовательно,

    Определение 2 . Окружность называют окружностью, вписанной в угол , если она касается касается сторон этого угла.

    Теорема 3 . Если окружность вписана в угол, то расстояния от вершины угла до точек касания окружности со сторонами угла равны.

    Доказательство . Пусть точка D – центр окружности, вписанной в угол BAC , а точки E и F – точки касания окружности со сторонами угла (рис.3).

    Прямоугольные треугольники ADF и ADE равны, поскольку у них равны катеты DF и DE (как радиусы окружности радиусы окружности ), а гипотенуза AD – общая. Следовательно

    Замечание . Теорему 3 можно сформулировать и по-другому: отрезки касательных касательных , проведенных к окружности из одной точки, равны.

    Определение 3 . Биссектрисой треугольника называют отрезок, являющийся частью биссектрисы угла треугольника, и соединяющий вершину треугольника с точкой на противоположной стороне.

    Теорема 4 . В любом треугольнике все три биссектрисы пересекаются в одной точке.

    Доказательство . Рассмотрим две биссектрисы, проведённые из вершин A и C треугольника ABC , и обозначим точку их пересечения буквой O (рис. 4).

    Опустим из точки O перпендикуляры OD , OE и OF на стороны треугольника. Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла BAC , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Поскольку точка O лежит на биссектрисе угла ACB , то в силу теоремы 1 справедливо равенство:

    Следовательно, справедливо равенство:

    откуда с помощью теоремы 2 заключаем, что точка O лежит на биссектрисе угла ABC . Таким образом, все три биссектрисы треугольника проходят через одну и ту же точку, что и требовалось доказать

    Определение 4 . Окружностью, вписанной в треугольник , называют окружность, которая касается всех сторон треугольника (рис.5). В этом случае треугольник называют треугольником, описанным около окружности .

    Следствие . В любой треугольник можно вписать окружность, причем только одну. Центром вписанной в треугольник окружности является точка, в которой пересекаются все биссектрисы треугольника.

    Формулы для радиуса окружности, вписанной в треугольник

    Формулы, позволяющие найти радиус вписанной в треугольник окружности , удобно представить в виде следующей таблицы.

    www.resolventa.ru

    Если все стороны треугольника касаются окружности, то окружность называется вписанной в треугольник, а треугольник — описанным около этой окружности.

    Теорема. В любой треугольник можно вписать окружность и при этом только одну.

    Центр вписанной в треугольник окружности находится в точке пересечения его биссектрис.

    Описанная окружность

    Если все вершины многоугольника лежат на окружности, то окружность называется описанной около треугольника, а треугольник — вписанным в эту окружность.

    Теорема. Около любого треугольника можно описать окружность и при этом только одну.

    Центр описанной около треугольника окружности находится в точке пересечения серединных перпендикуляров.

    Равносторонний треугольник

    Радиус описанной около равностороннего треугольника окружности определяется по формуле:

    Радиус вписанной в равносторонний треугольник окружности определяется по формуле:

    Прямоугольный треугольник

    Центр окружности, описанной около прямоугольного треугольника, лежит на середине его гипотенузы.

    Радиус описанной около прямоугольного треугольника окружности равен длине медианы, проведенной к гипотенузе.

    Радиус вписанной в прямоугольный треугольник окружности определяется по формуле:

    fizmat.by

    Смотрите так же:

    • Правило синусов косинусов и тангенсов Что такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике? Синус, косинус и тангенс острого угла прямоугольного треугольника. Приветствую Вас дорогие учащиеся. Сейчас рассмотрим что же такое синус, косинус, тангенс и котангенс в прямоугольном треугольнике? Это тема не […]
    • Переместительный и сочетательный законы умножения Переместительный и сочетательный законы умножения Операции сложения и умножения действительных (а значит, в том числе и натуральных, и целых) чисел обладают следующими свойствами: a + b = b + a (переместительный закон сложения). (a + b) + c = a + (b + c) (сочетательный закон […]
    • База штрафов за парковку База штрафов за парковку ГКУ «АМПП» уведомляет всех автовладельцев, что действие части 1.3 статьи 32.2 КоАП РФ (об уплате половины суммы административного штрафа) НЕ РАСПРОСТРАНЯЕТСЯ на штрафы, наложенные за совершение правонарушений, предусмотренных частью 2 статьи 8.14 КоАП г. Москвы […]
    • Юрист и нотариус это одно и тоже Адвокат Уфа Обновлено 25.10.2016 г. В настоящее время гражданам предлагаются различные юридические услуги, предоставляемые юристами и адвокатами. Зачастую многие люди путают или не различают этих понятий. Однако разница между ними существенная. Перед тем, как рассмотреть основные […]
    • Закон 44 статья 39 Частью 7 ст. 39 Федерального закона от 05.04.2013 N 44-ФЗ "О контрактной системе в сфере закупок товаров, работ, услуг для обеспечения государственных и муниципальных нужд" установлено, что замена члена комиссии допускается по решению заказчика, принявшего решение о создании комиссии. […]
    • Заявление о принятии на испытательный срок Трудовой договор, бланк заявления о приеме на работу, приказ о приеме работника на работу Формы документов Трудовой договор ТРУДОВОЙ ДОГОВОР №_________ «__» __________ 200 _ г. именуемое далее Работодатель, в лице ______________________________________________ действующего на основании […]
    • Куда подаётся надзорная жалоба Надзорная жалоба - работа над ошибками Исправить судебную ошибку всегда не просто. Третья ступень на пути исправления - это надзорная судебная инстанция, которая рассматривает жалобы на вступившие в законную силу решения суда. Что необходимо знать при составлении надзорной жалобы? В […]
    • О принятии в муниципальную собственность объектов О принятии в муниципальную собственность и постановке на баланс Администрации муниципального образования Аксарковское объектов недвижимого имущества 90-р от 14.11.2014 АДМИНИСТРАЦИЯ МУНИЦИПАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ АКСАРКОВСКОЕ Р А С П О Р Я Ж Е Н И Е «14» ноября 2014 г. № 90-рс.Аксарка О […]