Правила комбинаторных задач

Главная / Правила комбинаторных задач

Правила комбинаторных задач

Большинство комбинаторных задач решается с помощью двух основных правил — правила суммы и правила произведения.

Правило суммы. Если некоторый объект можно выбрать способами, а другой объект можно выбрать способами, то выбор «либо , либо » можно осуществить способами.

Правило произведения. Если объект можно выбрать способами, а после каждого такого выбора другой объект можно выбрать (независимо от выбора объекта способами, то пары объектов и можно выбрать способами.

Пусть = <, , . >, = <, , . > и А — число элементов множества . Составим декартово произведение множеств и , т.е. множество пар (, .

Тогда правило произведения записывается следующим образом:

Пример 6. Сколько существует двузначных чисел?

Решение. Поскольку в двузначном числе цифра, обозначающая число десятков, должна быть отлична от нуля, то = <1, 2, . 9>, = <0, 1, 2, . 9>и

Размещениями из элементов по называются такие выборки, которые, имея по элементов, выбранных из числа данных элементов, отличаются одна от другой либо составом элементов, либо порядком их расположения.

Число размещений из элементов по обозначим Используя основное правило комбинаторики, получаем

Если , то — число таких размещений, которые отличаются только порядком расположения элементов. Такие размещения называются перестановками. Их число находится по формуле

Выборки из элементов, взятых из данных , отличающихся только составом элементов, называются сочетаниями из элементов по . Число таких сочетаний находится

Пример 7. Сколько словарей надо издать, чтобы можно было непосредственно выполнять переводы с любого из пяти языков: русского, английского, немецкого, французского, испанского — на любой другой из этих пяти языков?

Решение. Поскольку важен порядок, с какого языка задается перевод на другой, то для ответа на вопрос необходимо найти число размещений из пяти по два.

Пример 8. В соревнованиях на первенство университета по волейболу участвуют 8 команд. Насколько более продолжительным будет турнир, организованный по круговой системе, чем по олимпийской?

Решение. При проведении турнира по круговой системе каждый участник встречался с каждым и порядок их вхождения в пару не важен. Следовательно, по круговой системе потребуется провести встреч, а по олимпийской только — 7 (четыре встречи в финала, две — в полуфинале и одна в финале).

В данных выборках допускается повторение элементов, что является достаточно естественным (например, в телефонных и автомобильных номерах возможно использование одной цифры несколько раз).

Число размещений из элементов по с повторениями обозначается и находится как

Число перестановок , в которых 1-й элемент повторяется раз, 2-й — раз, а -й — раз, находится следующим образом:

Пример 9. Сколько «слов» можно получить, переставляя буквы в слове МАТЕМАТИКА?

Решение. Заметим, что если бы все буквы были различны, то получили бы новых «слов», но буква «М» употребляется в «слове» 2 раза, «А» — 3 раза, «Т» — 2 раза, оставшиеся три буквы — по разу. Следовательно, искомое число будет в раз меньше, чем , и равно

Число сочетаний с повторениями из элементов по выражается через число сочетаний без повторений:

Пример 10. В кафе в продаже имеются 5 сортов пирожных. Сколькими способами 8 студенток могут заказать себе по одному пирожному?

Решение. Зашифруем каждую покупку 8 пирожных единицами по 5 сортам, разделяя сорта нулями. Тогда каждой покупке будет соответствовать упорядоченный набор из 8 единиц и 4 (= 5 — 1) разделительных нулей, а общее число покупок будет соответствовать числу перестановок этих нулей и единиц . Таким образом,

Вопросы для самоконтроля

  1. Основные правила комбинаторики и их иллюстрация на графе.
  2. Порядок решения комбинаторных задач.
  3. Приведите примеры размещений и перестановок без повторений.
  4. Свойства сочетаний без повторений.
  5. Как получить треугольник Паскаля, и где он применяется?
  6. Приведите примеры выборок с повторениями.
  7. Каких выборок больше: с повторениями или без повторений?
  8. Что понимают под словом длины над алфавитом ?

I 11. В чемпионате России по футболу участвуют 16 команд. Сколькими способами может определиться тройка призеров?

12. Из колоды, содержащей 36 карт, вынули 10 карт. Сколькими различными способами это можно сделать? В скольких случаях среди этих карт окажется хотя бы один туз? В скольких случаях окажется ровно один туз?

13. Сколькими способами 8 человек могут встать в очередь друг за другом?

14. Сколькими способами можно расставить на книжной полке 5 учебников по комбинаторике, 4 — по алгебре и 3 — по математическому анализу, если учебники по каждому предмету одинаковые?

15. На физмате работают 76 преподавателей. Из них 49 знают английский язык, 32 — немецкий и 15 — оба языка. Сколько преподавателей на физмате не знает ни английского, ни немецкого языков?

16. В цветочном магазине продаются цветы 4 сортов. Сколько можно составить различных букетов из пяти цветов в каждом?

II 17. В азбуке Морзе буквы представляются последовательностями тире и точек. Сколько символов потребуется, чтобы закодировать буквы русского алфавита?

18. Какова вероятность выиграть хотя бы один из призов в спортлото?

III 19. Доказать с помощью комбинаторных рассуждений тождество

cito-web.yspu.org

Урок по теме «Правило умножения для комбинаторных задач». 6-й класс

Разделы: Математика

Образовательные: К концу урока учащиеся должны:

  • Иметь представление о переборе всех возможных вариантов, о простейших комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, о правиле умножения;
  • Уметь решать простейшие комбинаторные задачи, используя правило умножения и правило деления для комбинаторных задач;
  • Знать о переборе всех возможных вариантов, о комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, о правиле умножения.
  • формированию познавательного интереса к предмету;
  • воспитанию чувства патриотизма.
  • развитию речи; творческого мышления;
  • развитию умения излагать информацию, интерпретируя факты, разъясняя значение и смысл теории.

I. Актуализация знаний

Слово учителя: В нашей повседневной жизни мы часто встречаемся с ситуациями, когда нам приходится подсчитывать возможные варианты тех или иных событий.

В пятом классе мы с вами уже познакомились с достоверными, невозможными и случайными событиями. Познакомились с простейшими комбинаторными задачами, т.е. задачами в которых приходилось осуществлять перебор всех возможных вариантов, или как говорят в таких случаях, всех возможных комбинаций. Слово «комбинаторика» происходит от латинского combino – соединяю. Давайте вспомним основные теоретические положения:

  1. Какие задачи называются комбинаторными? (задачи в которых осуществляют перебор всех возможных вариантов);
  2. Как называется раздел математики, занимающийся поисками ответов на вопросы: сколько всего есть комбинаций в том или ином случае, как из всех этих комбинаций выбрать наилучшую? (комбинаторика);
  3. Может ли комбинаторика помочь в реальной жизни?
  4. Как часто вы комбинируете в реальной жизни?
  5. Каким способом вы умеете решать комбинаторные задачи?
    («дерево» вариантов);
  6. В чем заключается метод решения задач по «дереву » вариантов?
  7. II. Изучение нового материала

    Давайте вспомним один из способов решения комбинаторных задач.

    Задача. Несколько стран решили использовать для своего государственного флага символику в виде трех горизонтальных полос одинаковой ширины разных цветов – белого, синего, красного. Сколько стран могут использовать такую символику при условии, что у каждой страны – свой флаг?

    Какой способ вы использовали в 5-м классе для решения такой задачи?

    (построение «дерева» возможных вариантов).

    Построим «дерево» вариантов и ответим на вопрос задачи. (Учащиеся работают в группах, затем правильность выполнения работы проверяется на слайде 1)

    Используя дерево возможных вариантов, мы можем подсчитать, сколько стран могут использовать такую символику.

    Таким образом, получилось 6 комбинаций. Значит, указанную символику при выборе государственного флага могут использовать 6 стран.

    Вопрос на который вы должны знать ответ: какой из представленных на рисунке флагов является Государственным флагом России? (Российский флаг «триколор» выделен на этой схеме).

    Что означает каждый цвет флага? Белый цвет означает мир, чистоту, совершенство; синий – цвет веры и верности; красный – энергию, силу, кровь, пролитую за Отечество.

    «Дерево» вариантов можно считать геометрической моделью рассматриваемой ситуации.

    Рассмотрим вторую задачу: Сколько двузначных чисел можно составить из цифр 0, 1, 2, 3, 4?

    (Учащиеся работают в группах несколько минут).

    Слово учителя: С какой проблемой вы столкнулись?

    Предполагаемый ответ учащихся. «Дерево» вариантов имеет много «веток». Так как вариантов много, то можно легко допустить ошибку в подсчете всевозможных способов.

    Слово учителя: Давайте ребята попробуем обойтись без «дерева» вариантов, и, используя логические рассуждения и здравый смысл подсчитать количество данных двузначных чисел.

  8. Какая цифра у интересующих нас двузначных чисел на первом месте (цифра десятков) может находиться?
  9. Ответ: Любая из заданных цифр кроме цифры 0. Не существует двузначного числа, начинающегося с цифры 0.

    Слово учителя: Значит, цифрой десятков может служить одна из цифр 1, 2, 3 или 4. Поэтому в первой группе только 4 «ветви».

  10. Сколько вариантов для цифры единиц возможно для каждого из этих случаев?
  11. Ответ: Возможны пять вариантов – 0, 1, 2, 3, 4.

    Всего получаем 4•5 = 20 вариантов.

    Про такой способ рассуждений обычно говорят так: мы использовали правило умножения.

    Слово учителя: Сформулируем правило умножения.

    Если первый элемент в комбинации можно выбрать a способами, после чего второй элемент – b способами, то общее число комбинаций из двух элементов будет a •b.

    Слово учителя: Рассмотрим несколько устных задач на применение правила умножения.

    У Насти 3 брюк и 5 блузок, удачно сочетающихся по цвету. Сколько различных комбинаций одежды она может составить? (3*5=15)

    В 5-м классе в субботу 4 урока: математика, русский язык, информатика и музыка. Сколько можно составить вариантов расписания в субботу? (4*3*2*1=24).

    III. Выполнение упражнений

    В списке учеников 6-го класса 15 девочек и 13 мальчиков. Нужно выбрать двух дежурных по классу. Сколькими способами это можно сделать: а) при условии, что пару дежурных обязательно должны составить мальчик и девочка, б) без указанного условия?

    А) Для выбора девочки в качестве дежурного есть 15 вариантов. Если девочка дежурной назначена, то имеется 13 вариантов выбора мальчика в качестве второго дежурного.

    Всего: 15*13= 195 способов.

    Ответ: 195 способов.

    Б) Для выбора первого дежурного имеется 28 способов. Для каждого из них существует 27 способов выбора второго дежурного.

    Всего 28*27 = 756 способов.

    Но среди этих 756 пар есть одинаковые пары. Для простоты рассуждений перенумеруем учеников (в списке каждому ученику присваивается номер). Тогда ясно, что например, пара «ученик №1, ученик №2» и пара «ученик №2 , ученик №1» это одна и та же пара. Таким образом, мы каждую пару посчитали дважды. Значит, полученный результат надо уменьшить вдвое: 756:2= 378

    Ответ: 378 способов.

    В данной задаче мы использовали с вами правило деления. Давайте его сформулируем: если при подсчете искомых комбинаций мы каждую из них подсчитали т раз, то нужно поделить найденное количество комбинаций на m.

    Слово учителя: итак, сегодня, вы познакомились еще с одним способом решения комбинаторных задач: использование правила умножения и правила деления для подсчета возможных вариантов.

    Давайте сравним известные вам способы решения комбинаторных задач.

    xn--i1abbnckbmcl9fb.xn--p1ai

    Как решать задачи по комбинаторике?

    Комбинаторная теория является одной из важнейших областей математики, без знания которой не обойтись ни менеджеру, ни программисту, ни другим специалистам. Знать, как проводится решение задач по комбинаторике, значит быть востребованным работником, умеющим решать широкий круг практических задач.

    Возникновение комбинаторной теории

    Комбинаторика – это область математики, изучающая вопрос, сколько разных комбинаций (наборов) можно составить из элементов заданного множества. При этом нужные комбинации подчиняются определенным требованиям, что приводит к различным методам решения задач по комбинаторике.

    Истоки этой науки были положены знаменитым математиком и философом Готфридом Лейбницем.

    Два основных правила комбинаторной теории

    Теория комбинаторики зиждется на двух основных принципах – это правило сложения и правило умножения. Рассмотрим их подробнее.

    Правило сложения: Пусть объект А мы можем выбрать из множества $m$ способами, а объект В можно выбрать $n$ способами, то объект «А+В» можно выбрать $m+n$ способами.

    Возможно, это правило покажется непосвященному человеку абракадаброй, но ничего сложного нет. Рассмотрим пример – пусть в одном ящике есть $m$ шариков, а во втором ящике – $n$ шариков. Сколькими способами можно вытащить шарик из одного этих ящиков. Очевидно, что ОДИН шарик можно достать $m+n$ способами.

    Правило умножения: Пусть объект А выбирается $m$ способами, объект В выбирается $n$ способами, то оба объекта можно выбрать $mn$ способами.
    Все очень просто – каждый из $m$ способов выбора объекта А комбинируется с каждым из $n$ способов выбора объекта В, то есть количество способов просто умножается друг на друга.

    Рассмотрим простой пример: сколько чисел можно составить из цифр 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9, если число должно быть двузначным?
    Можно составить 90 чисел – первую цифру числа (объект А) можем выбрать 9 способами, так как число не может начинаться с нуля. Вторую цифру числа (объект В) можем выбрать 10 способами, так как у нас есть 10 цифр. Итого получается $9*10=90$ чисел.

    Это были главные правила, на которые опираются все методы решения задач по комбинаторике. Еще больше теории о началах комбинаторики вы найдете в онлайн учебнике: Элементы комбинаторики онлайн.

    Готовые решения задач по теории вероятностей, в том числе по комбинаторике — более 400 решений. Найди свою задачу:

    Примеры решения задач по комбинаторике

    Перейдем к более продвинутым случаям и рассмотрим другие понятия комбинаторики.

    Есть 5 книг. Сколькими способами их можно расположить на книжной полке?
    Ответ – 120 способов. Первую книгу можем выбрать 5 способами, вторую книгу 4 способами и т.д. Перемножая числа с 5 до 1, получим 120.

    С этой задачи начинается понятие факториала. N-факториал или N! – это количество перестановок из N объектов, вычисляемое по формуле $P_N =N!= 1*2*3*…*(N-1)*N$.

    Следующий пример – в чемпионате мира участвуют 18 команд по футболу. Сколькими способами можно распределить золотые, серебряные и бронзовые комплекты?
    Ясно, что золотые медали может получить любая из команд, значит золотого призера (объект А) можно выбрать 18 способами. Остается два комплекта и 17 команд. Серебряным медалистом может стать одна из 17 команд, а бронзовым – одна из 16 команд. Значит, серебряного и бронзового медалиста можно выбрать 17 и 16 способами.
    Итого, три комплекта медалей могут распределиться 18*17*16 = 4896 способами.

    www.matburo.ru

    Правило умножения для комбинаторных задач

    Презентация к уроку

    Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.

    Тип урока: Усвоение новых знаний

    Образовательные цели / задачи педагога на уроке:

    • создать условия для формирования представлений о комбинаторных задачах, переборе всех возможных вариантов, о дереве возможных вариантов, как о геометрической модели рассматриваемой ситуации, о записи произведения первых п натуральных чисел в виде факториала, о решении комбинаторных задач, применяя способы перебора возможных вариантов; с помощью графа, называемого деревом вариантов; правила умножения.
    • Образовательные цели / задачи учащегося на уроке:

      Иметь представление о переборе всех возможных вариантов, о комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, понятии записи произведения первых п натуральных чисел в виде факториала, о правиле умножения; овладеть умением решать комбинаторные задачи, применяя различные способы.

      Планируемые результаты изучения темы:

      Личностные: проявляют познавательный интерес к изучению темы; осознают важность и необходимость знаний для человека.

      Предметные: знают о переборе всех возможных вариантов, о комбинаторных задачах, о дереве возможных вариантов, о правиле умножения.

      Метапредметные результаты изучения темы (универсальные учебные действия):

        познавательные: ориентируются на разнообразие способов решения задач;
      • регулятивные: учитывают правило в планировании и контроле способа решения; умеют участвовать в диалоге, осмысливать точку зрения собеседника, признавать право на свое мнение, развернуто обосновывать суждение;
      • коммуникативные: считаются с разными мнениями и стремятся к координации различных позиций в сотрудничестве.

      Учебник, мультимедиа проектор, компьютер, карточки с набором задач для групповой работы, карточки для рефлексии.

      1) Организационный момент.

      2) Мотивация учебной деятельности учащихся. Постановка цели урока.

      3) Актуализация опорных знаний.

      4) Изучение нового материала.

      5) Первичное закрепление новых знаний.

      6) Исторический экскурс.

      7) Обобщение нового знания. Включение нового знания в систему ранее изученного.

      8) Итог урока. Рефлексия содержания учебного материала.

      9) Информация о домашнем задании.

      1. Организационный момент.

      Приветствие учащихся. Проверка готовности класса к уроку. Организация внимания.

      2. Мотивация учебной деятельности. Постановка цели урока.

      Учитель формулирует цели и задачи урока, предлагает провести урок под девизом:

      “Кто хочет ограничиться настоящим, без знания прошлого, тот никогда его не поймет”. (Г.В.Лейбниц)

      3. Актуализация знаний

      Учитель напоминает учащимся, что знакомство с темой этого урока началось еще в 5 классе и предлагает учащимся решить задачу №1 различными способами:

      Задача №1 (Слайд №3)

      Запишите все трехзначные числа, для записи которых употребляются только цифры 0 и 7.

      Проверка решения задачи осуществляется на доске, с обсуждением всех предложенных способов решения (Слайд № 4)

      4. Изучение нового материала.

      Учитель вводит понятие комбинаторика, комбинаторные задачи:

      В математике есть задачи, подобные решенной нами, в которых требуется составить различные наборы, подсчитать количество всевозможных расположений (комбинаций) элементов некоторого множества, составленных по определённому правилу, такие задачи называют комбинаторными.

      Раздел математики, именуемый комбинаторикой, изучает комбинации и перестановки предметов, расположение элементов, обладающее заданными свойствами.

      Учитель подчеркивает важную роль комбинаторики как одной из ветвей математики. (Слайды № 5 — 6)

      К комбинаторным задачам относятся также задачи построения магических квадратов, задачи расшифровки и кодирования, с которыми мы с вами познакомимся подробнее на факультативных занятиях.

      Учащимся предлагается решить задачу №2.

      Задача №2. ( Слайд №7)

      Сколько пальцев на лапах у 20 обезьян?

      20 обезьян, у каждой 4 лапы, на каждой лапе – 5 пальцев.

      Получаем 20 х 4 х 5 = 400

      Можно рассуждать и так:

      Одну обезьяну можно выбрать 20 способами.

      1 лапа – 4 выбора.

      1 палец – 5 выборов.

      Итого 20 х 4 х 5 = 400 пальцев.

      Вернемся к задаче №1 и обратим внимание на третий способ решения: 2 х 2 = 4.

      Учитель предлагает учащимся сформулировать общее правило для решения данных задач.

      Учащиеся приводят свои варианты формулировок. После обсуждения учитель формулирует правило умножения для комбинаторных задач:

      Если элемент А можно выбрать m способами, а элемент В можно выбрать n способами, то пару А и В можно выбрать m х n способами. (Слайд 8)

      5. Первичное применение нового знания.

      Задача № 3. (Слайд №9)

      В четверг в шестом классе должно быть 5 уроков: русский язык, литература, математика, история и физкультура. Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день?

      Проверка решения на доске. 5 х 4 х 3 х 2 х 1 = 120 (вариантов)

      Сколько различных вариантов расписания можно составить на этот день, если:

      а) последний урок-физкультура;

      б) последний урок физкультура, а первый –математика?

      Проверка решения на доске 4 х 3 х 2 х 1 = 24 (варианта)

      Проверка решения на доске 3 х 2 х 1 = 6 (вариантов).

      Учитель обращает внимание учащихся на то, что решение задачи можно записать в виде:

      1 х 2 х 3 х 4 = 4!

      1 х 2 х 3 х 4 х 5 = 5! и знакомит учащихся с понятием “факториал”. (Слайд №10)

      Учащиеся вычисляют значение выражения: 6! – 5!

      Решение: 720 – 120 = 600

      6. Исторический экскурс

      Трое учащихся получили индивидуальное домашнее задание подготовить к данному уроку сообщения по теме “Из истории развития комбинаторики”.

      При подготовке сообщений детям предложен поиск информации с использованием:

      а) библиотечного фонда (“ История математики в школе” Г.И. Глейзер, М., Просвещение; 1983г.)

      Ребята слушают сообщения одноклассников и задают вопросы. Выступающие отвечают на вопросы сами или с помощью учителя. Приложение 1.

      7. Обобщение нового знания. Включение нового знания в систему ранее изученного.

      Учитель формулирует проблемный вопрос:

      Вспомните героев литературного произведения, которые в споре решают комбинаторную задачу? (Герои басни И.А. Крылова “Квартет” осел, козел, мартышка и косолапый мишка)

      Может ли комбинаторика помочь нам в реальной жизни?

      Учащиеся обсуждают вопрос и высказывают свое мнение.

      Учитель обобщает высказанные мнения. Многие жизненные проблемы требуют для своего решения комбинаторного подхода, умения просчитать все возможные варианты и с учетом дополнительных условий выбрать наилучший. Ведь в повседневной жизни нередко перед нами возникают ситуации, которые имеют не одно, а несколько решений, которые нужно сравнить, чтобы выбрать наиболее подходящее для конкретного случая. Для этого надо осуществить перебор всех возможных вариантов или хотя бы подсчитать их число.

      Люди, которые владеют техникой решения комбинаторных задач, а, следовательно, обладают хорошей логикой, умением рассуждать, перебирать различные варианты решений, очень часто находят выходы, казалось бы, из самых трудных безвыходных ситуаций.

      Для того чтобы увидеть связь комбинаторики и повседневной жизни мы проведем конкурс на звание лучшего экскурсовода, который познакомит ребят с достопримечательностями города Тихвина. (Слайд № 11)

      Класс учащихся разбивается на пять групп. Каждой группе предлагается решить задачи (Приложение 2) и представить решение одной из них по выбору учителя на доске. В решениях задач должны быть показаны три различных способа. Для каждой задачи выбирается один наиболее рациональный способ.

      Во время групповой работы учитель контролирует ход работы в группах, в случае крайней необходимости оказывает помощь отдельным учащимся или группе.

      При проверке задач при необходимости используются (слайды №12 – 17).

      По окончанию работы, членами групп дается оценка деятельности каждого учащегося в соответствии с его вкладом в решение поставленной задачи.

      Подводятся итоги конкурса. Объявляются оценки.

      Смотрите так же:

      • Бывший муж не платит алименты уже год Муж не платит алименты - КОНСУЛЬТАЦИИ ЮРИСТОВ Многие мамы, испытывающие трудности финансового характера, задаются вопросом: что делать, если муж не платит алименты? В такой ситуации имеется единственный выход: обратиться с заявлением в полицию. 157 статьей Уголовного кодекса РФ […]
      • Ремесленничество налог Как стать ремесленником: пошаговая инструкция для тех, кто решил превратить хобби в заработок Как стать ремесленником и какие виды деятельности могут считаться ремеслом, объяснили в федерации профсоюзов Беларуси. Фото: Дмитрий Брушко, TUT.BY. Фото носит иллюстративный характер Как […]
      • Обставина мети правило Обставина мети правило Гіпермаркет Знань>>Українська мова>>Українська мова 5 клас>>Українська мова 5 клас>> Другорядні члени речення: додаток, означення, обставина. Способи їх вираження різними частинами мови Прочитайте уривок вірша. Знайдіть у ньому назви другорядних членів […]
      • Война без правил документальный На "Беларусь 3" премьера цикла документальных фильмов "Хатынь. Война без правил" 20 марта зрители "Беларусь 3" увидят премьеру цикла документальных фильмов "Хатынь. Война без правил", приуроченного к 75-й годовщине со дня трагедии в белорусской деревне. 75 лет отдаляют нас от страшного […]
      • Возврат налога нерезидентам НДФЛ иностранцев: от 30 к 13 Пересчитывать НДФЛ для граждан, получивших статус резидента, можно только за отчетный год. Что же касается российских граждан, ставших нерезидентами, то у них НДФЛ облагаются только премии, отпускные и компенсации. В настоящее время организации всe чаще и […]
      • Личное дело правила ведения Как формируется и ведется личное дело работника Согласно законодательству, личные дела (ЛД) обязательно должны вестись на служащих государственных учреждений, остальные предприниматели и юридические лица могут вести подобную документацию по желанию. Но иметь личное дело сотрудника на […]
      • Как отремонтировать коллектор Ремонт коллектора и щеток электрических машин постоянного тока При работе генераторов и электродвигателей постоянного тока чисто наблюдается искрение на коллекторе, при этом на поверхности его появляются борозды, пластины подгорают. В результате коллектор и щетки быстро […]
      • Рб закон о тунеядстве "Не ставших на путь исправления направят в ЛТП". Кого из тунеядцев освободят от полной оплаты ЖКУ Списки плательщиков полной стоимости коммунальных услуг по декрету № 1 будут готовы к 1 февраля 2019 года. Об этом заявила министр труда и соцзащиты Ирина Костевич на семинаре для местных […]