Основное правило степени

Главная / Основное правило степени

Свойства степени

Напоминаем, что в данном уроке разбираются свойства степеней с натуральными показателями и нулём. Степени с рациональными показателями и их свойства будут рассмотрены в уроках для 8 классов.

Степень с натуральным показателем обладает несколькими важными свойствами, которые позволяют упрощать вычисления в примерах со степенями.

Свойство № 1
Произведение степеней

При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а показатели степеней складываются.

a m · a n = a m + n , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

Данное свойство степеней также действует на произведение трёх и более степеней.

  • Упростить выражение.
    b · b 2 · b 3 · b 4 · b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
  • Представить в виде степени.
    6 15 · 36 = 6 15 · 6 2 = 6 15 · 6 2 = 6 17
  • Представить в виде степени.
    (0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
  • Обратите внимание, что в указанном свойстве речь шла только об умножении степеней с одинаковыми основаниями . Оно не относится к их сложению.

    Нельзя заменять сумму (3 3 + 3 2 ) на 3 5 . Это понятно, если
    посчитать (3 3 + 3 2 ) = (27 + 9) = 36 , а 3 5 = 243

    Свойство № 2
    Частное степеней

    При делении степеней с одинаковыми основаниями основание остаётся без изменений, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

  • Записать частное в виде степени
    (2b) 5 : (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
  • Вычислить.

= 11 3 − 2 · 4 2 − 1 = 11 · 4 = 44
Пример. Решить уравнение. Используем свойство частного степеней.
3 8 : t = 3 4

Ответ: t = 3 4 = 81

Пользуясь свойствами № 1 и № 2, можно легко упрощать выражения и производить вычисления.

Пример. Упростить выражение.
4 5m + 6 · 4 m + 2 : 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2 : 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5

Пример. Найти значение выражения, используя свойства степени.

= 2 11 − 5 = 2 6 = 64

Обратите внимание, что в свойстве 2 речь шла только о делении степеней с одинаковыми основаниями.

Нельзя заменять разность (4 3 −4 2 ) на 4 1 . Это понятно, если посчитать (4 3 −4 2 ) = (64 − 16) = 48 , а 4 1 = 4

Свойство № 3
Возведение степени в степень

При возведении степени в степень основание степени остаётся без изменения, а показатели степеней перемножаются.

(a n ) m = a n · m , где « a » — любое число, а « m », « n » — любые натуральные числа.

  • Пример.
    (a 4 ) 6 = a 4 · 6 = a 24
  • Пример. Представить 3 20 в виде степени с основанием 3 2 .
  • По свойству возведения степени в степень известно, что при возведении в степень показатели перемножаются, значит:

    Свойства 4
    Степень произведения

    При возведении степени в степень произведения в эту степень возводится каждый множитель и результаты перемножаются.

    (a · b) n = a n · b n , где « a », « b » — любые рациональные числа; « n » — любое натуральное число.

  • Пример 1.
    (6 · a 2 · b 3 · c ) 2 = 6 2 · a 2 · 2 · b 3 · 2 · с 1 · 2 = 36 a 4 · b 6 · с 2
  • Пример 2.
    (−x 2 · y) 6 = ( (−1) 6 · x 2 · 6 · y 1 · 6 ) = x 12 · y 6
  • Обратите внимание, что свойство № 4, как и другие свойства степеней, применяют и в обратном порядке.

    (a n · b n )= (a · b) n

    То есть, чтобы перемножить степени с одинаковыми показателями можно перемножить основания, а показатель степени оставить неизменным.

  • Пример. Вычислить.
    2 4 · 5 4 = (2 · 5) 4 = 10 4 = 10 000
  • Пример. Вычислить.
    0,5 16 · 2 16 = (0,5 · 2) 16 = 1
  • В более сложных примерах могут встретиться случаи, когда умножение и деление надо выполнить над степенями с разными основаниями и разными показателями. В этом случае советуем поступать следующим образом.

    Например, 4 5 · 3 2 = 4 3 · 4 2 · 3 2 = 4 3 · (4 · 3) 2 = 64 · 12 2 = 64 · 144 = 9216

    Пример возведения в степень десятичной дроби.

    4 21 · (−0,25) 20 = 4 · 4 20 · (−0,25) 20 = 4 · (4 · (−0,25)) 20 = 4 · (−1) 20 = 4 · 1 = 4

    Свойства 5
    Степень частного (дроби)

    Чтобы возвести в степень частное, можно возвести в эту степень отдельно делимое и делитель, и первый результат разделить на второй.

    (a : b) n = a n : b n , где « a », « b » — любые рациональные числа, b ≠ 0, n — любое натуральное число.

  • Пример. Представить выражение в виде частного степеней.
    (5 : 3) 12 = 5 12 : 3 12
  • Напоминаем, что частное можно представить в виде дроби. Поэтому на теме возведение дроби в степень мы остановимся более подробно на следующей странице.

    math-prosto.ru

    Основные свойства логарифмов

    • Материалы к уроку
    • Скачать все формулы
    • Логарифмы, как и любые числа, можно складывать, вычитать и всячески преобразовывать. Но поскольку логарифмы — это не совсем обычные числа, здесь есть свои правила, которые называются основными свойствами.

      Эти правила обязательно надо знать — без них не решается ни одна серьезная логарифмическая задача. К тому же, их совсем немного — все можно выучить за один день. Итак, приступим.

      Сложение и вычитание логарифмов

      Рассмотрим два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда их можно складывать и вычитать, причем:

      Итак, сумма логарифмов равна логарифму произведения, а разность — логарифму частного. Обратите внимание: ключевой момент здесь — одинаковые основания. Если основания разные, эти правила не работают!

      Эти формулы помогут вычислить логарифмическое выражение даже тогда, когда отдельные его части не считаются (см. урок «Что такое логарифм»). Взгляните на примеры — и убедитесь:

      Задача. Найдите значение выражения: log6 4 + log6 9.

      Поскольку основания у логарифмов одинаковые, используем формулу суммы:
      log6 4 + log6 9 = log6 (4 · 9) = log6 36 = 2.

      Задача. Найдите значение выражения: log2 48 − log2 3.

      Основания одинаковые, используем формулу разности:
      log2 48 − log2 3 = log2 (48 : 3) = log2 16 = 4.

      Задача. Найдите значение выражения: log3 135 − log3 5.

      Снова основания одинаковые, поэтому имеем:
      log3 135 − log3 5 = log3 (135 : 5) = log3 27 = 3.

      Как видите, исходные выражения составлены из «плохих» логарифмов, которые отдельно не считаются. Но после преобразований получаются вполне нормальные числа. На этом факте построены многие контрольные работы. Да что контрольные — подобные выражения на полном серьезе (иногда — практически без изменений) предлагаются на ЕГЭ.

      Вынесение показателя степени из логарифма

      Теперь немного усложним задачу. Что, если в основании или аргументе логарифма стоит степень? Тогда показатель этой степени можно вынести за знак логарифма по следующим правилам:

    • log a x n = n · log a x ;
    • Несложно заметить, что последнее правило следует их первых двух. Но лучше его все-таки помнить — в некоторых случаях это значительно сократит объем вычислений.

      Разумеется, все эти правила имеют смысл при соблюдении ОДЗ логарифма: a > 0, a ≠ 1, x > 0. И еще: учитесь применять все формулы не только слева направо, но и наоборот, т.е. можно вносить числа, стоящие перед знаком логарифма, в сам логарифм. Именно это чаще всего и требуется.

      Задача. Найдите значение выражения: log7 49 6 .

      Избавимся от степени в аргументе по первой формуле:
      log7 49 6 = 6 · log7 49 = 6 · 2 = 12

      Задача. Найдите значение выражения:

      [Подпись к рисунку]

      Заметим, что в знаменателе стоит логарифм, основание и аргумент которого являются точными степенями: 16 = 2 4 ; 49 = 7 2 . Имеем:

      [Подпись к рисунку]

      Думаю, к последнему примеру требуются пояснения. Куда исчезли логарифмы? До самого последнего момента мы работаем только со знаменателем. Представили основание и аргумент стоящего там логарифма в виде степеней и вынесли показатели — получили «трехэтажную» дробь.

      Теперь посмотрим на основную дробь. В числителе и знаменателе стоит одно и то же число: log2 7. Поскольку log2 7 ≠ 0, можем сократить дробь — в знаменателе останется 2/4. По правилам арифметики, четверку можно перенести в числитель, что и было сделано. В результате получился ответ: 2.

      Переход к новому основанию

      Говоря о правилах сложения и вычитания логарифмов, я специально подчеркивал, что они работают только при одинаковых основаниях. А что, если основания разные? Что, если они не являются точными степенями одного и того же числа?

      На помощь приходят формулы перехода к новому основанию. Сформулируем их в виде теоремы:

      Пусть дан логарифм log a x . Тогда для любого числа c такого, что c > 0 и c ≠ 1, верно равенство:

      [Подпись к рисунку]

      В частности, если положить c = x , получим:

      [Подпись к рисунку]

      Из второй формулы следует, что можно менять местами основание и аргумент логарифма, но при этом все выражение «переворачивается», т.е. логарифм оказывается в знаменателе.

      Эти формулы редко встречается в обычных числовых выражениях. Оценить, насколько они удобны, можно только при решении логарифмических уравнений и неравенств.

      Впрочем, существуют задачи, которые вообще не решаются иначе как переходом к новому основанию. Рассмотрим парочку таких:

      Задача. Найдите значение выражения: log5 16 · log2 25.

      Заметим, что в аргументах обоих логарифмов стоят точные степени. Вынесем показатели: log5 16 = log5 2 4 = 4log5 2; log2 25 = log2 5 2 = 2log2 5;

      А теперь «перевернем» второй логарифм:

      [Подпись к рисунку]

      Поскольку от перестановки множителей произведение не меняется, мы спокойно перемножили четверку и двойку, а затем разобрались с логарифмами.

      Задача. Найдите значение выражения: log9 100 · lg 3.

      Основание и аргумент первого логарифма — точные степени. Запишем это и избавимся от показателей:

      [Подпись к рисунку]

      Теперь избавимся от десятичного логарифма, перейдя к новому основанию:

      [Подпись к рисунку]

      Основное логарифмическое тождество

      Часто в процессе решения требуется представить число как логарифм по заданному основанию. В этом случае нам помогут формулы:

      1. n = log a a n
      2. В первом случае число n становится показателем степени, стоящей в аргументе. Число n может быть абсолютно любым, ведь это просто значение логарифма.

        Вторая формула — это фактически перефразированное определение. Она так и называется: основное логарифмическое тождество .

        В самом деле, что будет, если число b возвести в такую степень, что число b в этой степени дает число a ? Правильно: получится это самое число a . Внимательно прочитайте этот абзац еще раз — многие на нем «зависают».

        Подобно формулам перехода к новому основанию, основное логарифмическое тождество иногда бывает единственно возможным решением.

        [Подпись к рисунку]

        Заметим, что log25 64 = log5 8 — просто вынесли квадрат из основания и аргумента логарифма. Учитывая правила умножения степеней с одинаковым основанием, получаем:

        [Подпись к рисунку]

        Если кто-то не в курсе, это была настоящая задача из ЕГЭ 🙂

        Логарифмическая единица и логарифмический ноль

        В заключение приведу два тождества, которые сложно назвать свойствами — скорее, это следствия из определения логарифма. Они постоянно встречаются в задачах и, что удивительно, создают проблемы даже для «продвинутых» учеников.

      3. log a a = 1 — это логарифмическая единица . Запомните раз и навсегда: логарифм по любому основанию a от самого этого основания равен единице.
      4. log a 1 = 0 — это логарифмический ноль . Основание a может быть каким угодно, но если в аргументе стоит единица — логарифм равен нулю! Потому что a 0 = 1 — это прямое следствие из определения.
      5. Вот и все свойства. Обязательно потренируйтесь применять их на практике! Скачайте шпаргалку в начале урока, распечатайте ее — и решайте задачи.

        www.berdov.com

        Степени сравнения прилагательных в английском языке

        Чтобы не пропустить новые полезные материалы, подпишитесь на обновления сайта

        Еще раз напомним, что прилагательное (Adjective) – это слово, которое обозначает признак предмета, лица или явления. Оно отвечает на вопрос «какой?». Давайте рассмотрим, как образовать степени сравнения прилагательных в английском языке.

        Все прилагательные делятся на две группы: качественные (qualitative) и относительные (relative). Но не все из них мы можем сравнивать. Например, «деревянный» – относительное прилагательное, и мы не можем сказать «более деревянный». А качественные прилагательные можно представить в положительной (красивый), сравнительной (красивее) и превосходной (самый красивый) степенях сравнения. А теперь мы расскажем о каждой степени подробно.

        Сравнительная степень прилагательных в английском языке. Comparative degree

        Сначала кратко расскажем о положительной степени. Положительная степень – это простая форма прилагательного: умный, веселый, мягкий. Эту форму вы встречаете в словарях. Например: brave (храбрый), new (новый), cold (холодный).

        Сравнительная степень используется, когда сравнивают характеристики двух или более предметов, лиц. Такие слова, как «быстрее», «выше», «сильнее» – прилагательные в сравнительной степени. Как ее образовать?

      6. К коротким прилагательным (состоят из одного или двух слогов) нужно добавить окончание -er: cheap (дешевый) – cheaper (дешевле), narrow (узкий) – narrower (уже), long (длинный) – longer (длиннее).
        • Если прилагательное заканчивается на -e, то мы просто добавляем -r: close (близкий) – closer (ближе).
        • Если прилагательное заканчивается на , то -y меняется на -i: lucky (везучий) – luckier (более везучий), easy (простой) – easier (проще).
        • Если прилагательное заканчивается на сочетание гласная + согласная, то конечная согласная удваивается: big (большой) – bigger (больше), hot (горячий) – hotter (горячее).
        • Сравнительная степень длинных прилагательных (более 2-х слогов) образуется при помощи слов more (более) и less (менее): expensive (дорогой) – more expensive (дороже), serious (серьезный) – less serious (менее серьезный), comfortable (удобный) – more comfortable (более удобный).
        • Посмотрите, как преподаватель с engVid рассказывает о правилах образования сравнительной степени прилагательных в английском языке.

          Превосходная степень прилагательных в английском языке. Superlative degree

          Если для сравнительной степени нужно два объекта, чтобы сравнивать характеристики, то для превосходной нужно несколько объектов, среди которых мы будем выделять один «самый-самый». Для образования этой степени мы выполняем следующее:

          1. К коротким прилагательным добавляем окончание -est: thin (тонкий) – the thinnest (самый тонкий), fast (быстрый) – the fastest (самый быстрый). При этом прилагательные на -e, и на согласную букву подчиняются тем же правилам, что и при образовании сравнительной степени: the simplest (самый простой), the busiest (самый занятый).
          2. Длинные прилагательные мы употребляем со словами most (самый) и least (менее всего): talented (талантливый) – the most talented (самый талантливый), interesting (интересный) – the least interesting (наименее интересный).

          При образовании этой степени обязательно нужно употреблять артикль the, как и написано в вышеуказанных примерах.

          Преподаватель Valen также разобрала правила образования превосходной степени. Enjoy!

          Особые прилагательные

          А еще в английском есть список прилагательных, которые могут употребляться и с суффиксами, и с со словами more/most, less/least.

          engblog.ru

          СПРАВОЧНЫЙ МАТЕРИАЛ ПО АЛГЕБРЕ ДЛЯ 7-11 КЛАССОВ.

          Уважаемые родители! Если Вы ищите репетитора по математике для Вашего ребёнка, то это объявление для Вас. Предлагаю скайп-репетиторство: подготовка к ОГЭ, ЕГЭ, ликвидация пробелов в знаниях. Ваши выгоды очевидны:

          1) Ваш ребенок находится дома, и Вы можете быть за него спокойны;

          2) Занятия проходят в удобное для ребенка время, и Вы даже можете присутствовать на этих занятиях. Объясняю я просто и доступно на всем привычной школьной доске.

          3) Другие важные преимущества скайп-занятий додумаете сами!

          Напишите мне по адресу: [email protected] или сразу добавляйтесь ко мне в скайп, и мы обо всём договоримся. Цены доступные.

          P.S. Возможны занятия в группах по 2-4 учащихся.

          С уважением Татьяна Яковлевна Андрющенко — автор этого сайта.

        • Произведение n сомножителей, каждый из которых равен а называется n-й степенью числа а и обозначается аn .
        • Действие, посредством которого находится произведение нескольких равных сомножителей, называется возведением в степень. Число, которое возводится в степень, называется основанием степени. Число, которое показывает, в какую степень возводится основание, называется показателем степени. Так, аn – степень, а – основание степени, n – показатель степени.
        • а 1 =а Любое число в первой степени равно самому себе.
        • a ma n=a m+n При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
        • a m:a n=a mn При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
        • (a m)n=a mn При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
        • (a∙b) n =a n ∙b n При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
        • (a/b)n=a n/b n При возведении в степень дроби возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
        • (-n)-й степенью (n – натуральное) числа а, не равного нулю, считается число, обратное n-й степени числа а, т.е.an=1/a n . (10 -2 =1/10 2 =1/100=0,01).
        • (a/b) —n=(b/a)n
        • Свойства степени с натуральным показателем справедливы и для степеней с любым показателем.
        • Очень большие и очень малые числа принято записывать в стандартном виде: a∙10n , где 1≤а 2 =a 2 +2ab+b 2Квадрат суммы двух выражений равен квадрату первого выражения плюс удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.

        • (a-b) 2 =a 2 -2ab+b 2Квадрат разности двух выражений равен квадрату первого выражения минус удвоенное произведение первого выражения на второе плюс квадрат второго выражения.
        • a 2 -b 2 =(a-b)(a+b)Разность квадратов двух выражений равна произведению разности самих выражений на их сумму.
        • (a+b) 3 =a 3 +3a 2 b+3ab 2 +b 3Куб суммы двух выражений равен кубу первого выражения плюс утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго плюс куб второго выражения.
        • (a-b) 3 = a 3 -3a 2 b+3ab 2 -b 3Куб разности двух выражений равен кубу первого выражения минус утроенное произведение квадрата первого выражения на второе плюс утроенное произведение первого выражения на квадрат второго минус куб второго выражения.
        • a 3 +b 3 =(a+b)(a 2 -ab+b 2 )Сумма кубов двух выражений равна произведению суммы самих выражений на неполный квадрат их разности.
        • a 3 -b 3 =(a-b)(a 2 +ab+b 2 )Разность кубов двух выражений равна произведению разности самих выражений на неполный квадрат их суммы.
        • (a+b+c) 2 =a 2 +b 2 +c 2 +2ab+2ac+2bcКвадрат суммы трех выражений равен сумме квадратов этих выражений плюс всевозможные удвоенные попарные произведения самих выражений.
        • Справка. Полный квадрат суммы двух выражений: a 2 + 2ab + b 2
        • Неполный квадрат суммы двух выражений: a 2 + ab + b 2

          Функцию вида y=x 2 называют квадратной функцией. Графиком квадратной функции является парабола с вершиной в начале координат. Ветви параболы y=x² направлены вверх.

          Функцию вида y=x 3 называют кубической функцией. Графиком кубической функции является кубическая парабола, проходящая через начало координат. Ветви кубической параболы y=x³ находятся в I и III четвертях.

          Четная функция.

          Функция f называется четной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения функции значение () также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f(- x)=f(x). График четной функции симметричен относительно оси ординат (Оy). Функция y=x 2 – четная.

          Нечетная функция.

          Функция f называется нечетной, если вместе с каждым значением переменной х из области определения функции значение () также входит в область определения этой функции и при этом выполняется равенство: f(- x)=- f(x). График нечетной функции симметричен относительно начала координат. Функция y=x 3 – нечетная.

          Квадратное уравнение.

          Определение. Уравнение вида ax 2 +bx+c=0, где a, b и c – любые действительные числа, причем а≠0, х – переменная, называется квадратным уравнением.

          a – первый коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

          Решение неполных квадратных уравнений.

        • ax 2 =0неполное квадратное уравнение (b=0, c=0). Решение: х=0. Ответ: 0.
        • ax 2 +bx=0неполное квадратное уравнение (с=0). Решение: x (ax+b)=0 → x1=0 или ax+b=0 → x2=-b/a. Ответ: 0; -b/a.
        • ax 2 +c=0неполное квадратное уравнение (b=0); Решение: ax 2 =-c → x 2 =-c/a.
        • Если (-c/a) 0, то имеем два действительных корня:

        • ax 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение общего вида
        • Дискриминант D=b 2 — 4ac.

          Если D>0, то имеем два действительных корня:

          Если D=0, то имеем единственный корень (или два равных корня) х=-b/(2a).

          Если D 2 +bx+c=0 – квадратное уравнение частного вида при четном втором

          коэффициенте b

        • ax 2 +bx+c=0квадратное уравнение частного вида при условии: a-b+c=0.
        • Первый корень всегда равен минус единице, а второй корень равен минус с, деленному на а:

        • ax 2 +bx+c=0квадратное уравнение частного вида при условии : a+b+c=0 .

        Первый корень всегда равен единице, а второй корень равен с, деленному на а:

        Решение приведенных квадратных уравнений.

      7. x 2 +px+q=0приведенное квадратное уравнение (первый коэффициент равен единице).
      8. Сумма корней приведенного квадратного уравнения x 2 +px+q=0 равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену:

        Теорема Виета для полного квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

        Сумма корней равна минус b, деленному на а, произведение корней равно с, деленному на а:

        ax 2 +bx+c=a·(x-x1)(x-x2), где x1, x2 — корни квадратного уравнения ax 2 +bx+c=0.

        Функция натурального аргумента называется числовой последовательностью, а числа, образующие последовательность — членами последовательности.

        Числовую последовательность можно задать следующими способами: словесным, аналитическим, рекуррентным, графическим.

        Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, сложенному с одним и тем же для данной последовательности числом d, называют арифметической прогрессией. Число d называют разностью арифметической прогрессии. В арифметической прогрессии n>, т. е. в арифметической прогрессии с членами: a1, a2, a3, a4, a5, …, an-1, an, … по определению: a2=a1+d; a3=a2+d; a4=a3+d; a5=a4+d; …; an=an-1+d; …

        Формула n-го члена арифметической прогрессии.

        Свойства арифметической прогрессии.

      9. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому соседних с ним членов:
      10. Каждый член арифметической прогрессии, начиная со второго, равен среднему арифметическому равноотстоящих от него членов:
      11. Формулы суммы первых n членов арифметической прогрессии.

        Геометрическая прогрессия.

        Определение геометрической прогрессии.

        Числовую последовательность, каждый член которой, начиная со второго, равен предыдущему, умноженному на одно и то же для данной последовательности число q, называют геометрической прогрессией прогрессией. Число q называют знаменателем геометрической прогрессии. В геометрической прогрессии n>, т. е. в геометрической прогрессии b1, b2, b3, b4, b5, … , bn, … по определению: b2=b1∙q; b3=b2∙q; b4=b3∙q; … ; bn=bn-1∙q.

        Формула n-го члена геометрической прогрессии.

        Свойства геометрической прогрессии.

        Формула суммы первых n членов геометрической прогрессии.

        Сумма бесконечно убывающей геометрической прогрессии.

        Бесконечная периодическая десятичная дробь равна обыкновенной дроби , в числителе которой разность между всем числом после запятой и числом после запятой до периода дроби, а знаменатель состоит из «девяток» и «нулей», причем, «девяток» столько, сколько цифр в периоде, а «нулей» столько, сколько цифр после запятой до периода дроби. Пример:

        Синус, косинус, тангенс и котангенс острого угла прямоугольного треугольника.

        Имеем: sinβ=cosα; cosβ=sinα; tgβ=ctgα; ctgβ=tgα. Так как β=90°-α, то

        sin (90°-α)=cosα; cos (90°-α)=sinα;

        tg (90°-α)=ctgα; ctg (90°-α)=tgα.

        Кофункции углов, дополняющих друг друга до 90°, равны между собой.

        Формулы сложения.

        9) sin (α+β)=sinα∙cosβ+cosα∙sinβ;

        10) sin (α-β)=sinα∙cosβ-cosα∙sinβ;

        11) cos (α+β)=cosα∙cosβ-sinα∙sinβ;

        12) cos (α-β)=cosα∙cosβ+sinα∙sinβ;

        Формулы двойного и тройного аргументов.

        17) sin2α=2sinαcosα; 18) cos2α=cos 2 α-sin 2 α;

        19) 1+cos2α=2cos 2 α; 20) 1-cos2α=2sin 2 α

        21) sin3α=3sinα-4sin 3 α; 22) cos3α=4cos 3 α-3cosα;

        Формулы преобразования суммы (разности) в произведение.

        Формулы преобразования произведения в сумму (разность).

        Формулы половинного аргумента.

        Синус и косинус любого угла.

        Четность (нечетность) тригонометрических функций.

        Из тригонометрических функций четная только одна: y=cosx, остальные три – нечетные, т. е. cos (-α)=cosα;

        sin (-α)=-sinα; tg (-α)=-tgα; ctg (-α)=-ctgα.

        Знаки тригонометрических функций по координатным четвертям.

        Значения тригонометрических функций некоторых углов.

        Радианы.

        1) 1 радиан – величина центрального угла, опирающегося на дугу, длина которой равна радиусу данной окружности. 1 рад.≈57°.

        2) Перевод градусной меры угла в радианную .

        3) Перевод радианной меры угла в градусную.

        Формулы приведения.

        1. Перед приведенной функцией ставят знак приводимой.

        2. Если в записи аргумента π/2 (90°) взято нечетное число раз, то функцию меняют на кофункцию.

        Обратные тригонометрические функции.

        Арксинусом числа а (arcsin a) называется угол из промежутка [-π/2; π/2 ], синус которого равен а.

        arcsin(- a)=- arcsin a.

        Арккосинусом числа а (arccos a) называется угол из промежутка [0; π], косинус которого равен а.

        arccos (-a)=π – arccosa.

        Арктангенсом числа а (arctg a) называется угол из промежутка (-π/2; π/2 ), тангенс которого равен а.

        arctg(- a)=- arctg a.

        Арккотангенсом числа а (arcctg a) называется угол из промежутка (0; π), котангенс которого равен а.

        arcctg (-a)=π – arcctg a.

        Решение простейших тригонометрических уравнений.

        1) sin t=a, 0

        2) sin t = — a, 0n+1 ·arcsin a +πn, nϵZ;

        3) cos t=a, 0

        4) cos t =-a, 0

        5) tg t =a, a>0, тогда t=arctg a + πn, nϵZ;

        6) tg t =-a, a>0, тогда t= — arctg a + πn, nϵZ;

        7) ctg t=a, a>0, тогда t=arcctg a + πn, nϵZ;

        8 ) ctg t= -a, a>0, тогда t=π – arcctg a + πn, nϵZ.

        1) sin t =0, тогда t=πn, nϵZ;

        2) sin t=1, тогда t= π/2 +2πn, nϵZ;

        3) sin t= -1, тогда t= — π/2 +2πn, nϵZ;

        4) cos t=0, тогда t= π/2+ πn, nϵZ;

        5) cos t=1, тогда t=2πn, nϵZ;

        6) cos t=1, тогда t=π +2πn, nϵZ;

        7) tg t =0, тогда t = πn, nϵZ;

        8 ) ctg t=0, тогда t = π/2+πn, nϵZ.

        Решение простейших тригонометрических неравенств.

        1) sint

        2) sint>a (|a| a (|a| a, arctga+πn a, πn 2 +y 2 =r 2 , r – радиус окружности.

      12. Окружность с центром в точке (a; b) и радиусом r: (x-a) 2 +(y-b) 2 =r 2 .
      13. Пределы.

      14. Постоянная величина а называется пределом переменной величины х, если эта переменная х при своем изменении неограниченно приближается к а.
      15. Предел постоянной величины равен самой постоянной величине.
      16. Постоянный множитель можно вынести за знак предела.
      17. lim (u±v)=lim u±lim v;
      18. lim (uv)=lim u∙lim v;
      19. Преобразование (конструирование) графиков функций.

      20. График функции y=-f(x) получается из графика функции y=f (x) зеркальным отражением от оси абсцисс.
      21. График функции y=|f(x)| получается зеркальным отражением от оси абсцисс той части графика функции y=f (x), которая лежит ниже оси абсцисс.
      22. График функции y=f(|x|) получается из графика функции y=f (x) следующим образом: оставляют часть графика справа от оси ординат и отображают эту же часть симметрично ей самой относительно оси ординат.
      23. График функции y=Af(x) получается из графика функции y=f (x) растяжением в А раз вдоль оси ординат. (Ордината каждой точки графика функции y=f (x) умножается на число А).
      24. График функции y=f(kx) получается из графика функции y=f (x) сжатием в k раз при k>1 или растяжением в k раз при 0 x , где а>0, a≠1, х – любое число, называют показательной функцией.
      25. Область определения показательной функции: D (y)=Rмножество всех действительных чисел.
      26. Область значений показательной функции: E (y)=R+множество всех положительных чисел.
      27. Показательная функция y=a x возрастает при a>1.
      28. Показательная функция y=a x убывает при 0.
      29. Справедливы все свойства степенной функции:

      30. а 0 =1 Любое число (кроме нуля) в нулевой степени равно единице.
      31. a x∙ay=ax+y При умножении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а показатели складывают.
      32. a x:ay=ax-y При делении степеней с одинаковыми основаниями основание оставляют прежним, а из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.
      33. (ax)y=axy При возведении степени в степень основание оставляют прежним, а показатели перемножают
      34. (a∙b)x=ax∙by При возведении произведения в степень возводят в эту степень каждый из множителей.
      35. (a/b)x=ax/by При возведении дроби в степень возводят в эту степень и числитель и знаменатель дроби.
      36. а -х =1/ax
      37. (a/b)-x=(b/a)x.
      38. Логарифмом числа b по основанию а (logab) называют показатель степени, в которую нужно возвести число а, чтобы получить число b.

        logab=n, если a n =b. Примеры: 1) log28=3, т. к. 2 3 =8;

        2) log5(1/25)=-2, т. к. 5 -2 =1/5 2 =1/25; 3) log71=0, т. к. 7 0 =1.

        Под знаком логарифма могут быть только положительные числа, причем, основание логарифма — число а≠1. Значением логарифма может быть любое число.

        Это тождество следует из определения логарифма: так как логарифм – это показатель степени (n), то, возводя в эту степень число а, получим число b.

        Логарифм по основанию 10 называют десятичным логарифмом и при написании опускают основание 10 и букву «о» в написании слова «log».

        lg7=log107, lg7 – десятичный логарифм числа 7.

        Логарифм по основанию е (Неперово число е≈2,7) называют натуральным логарифмом.

        ln7=loge7, ln7 – натуральный логарифм числа 7.

        Свойства логарифмов справедливы для логарифмов по любому основанию.

        loga1=0 Логарифм единицы равен нулю (a>0, a≠1).

        logaa=1 Логарифм числа а по основанию а равен единице (a>0, a≠1).

        Логарифм произведения равен сумме логарифмов сомножителей.

        loga(x/y)=logax logay

        Логарифм частного равен разности логарифмов делимого и делителя.

        Основание логарифма и число под знаком логарифма можно поменять местами по формуле:

        logab=1/logba Логарифм числа b по основанию а равен единице, деленной на логарифм числа а по основанию b.

        Логарифм числа b по основанию а равен логарифму числа b по новому основанию с, деленному на логарифм старого основания а по новому основанию с.

        logab k =klogab Логарифм степени (b k ) равен произведению показателя степени (k) на логарифм основания (b) этой степени.

        Логарифм по основанию a n .

        loga n b=(1/n)∙logab Логарифм числа b по основанию a n равен произведению дроби 1/n на логарифм числа b по основанию a.

        loga n b k =(k/n)∙logab Формула является комбинацией двух предыдущих формул.

        loga r b r =logab или logab=loga r b r

        Значение логарифма не изменится, если основание логарифма и число под знаком логарифма возвести в одну и ту же степень.

        p=logaa p

      39. Функция F (x) называется первообразной для функции f (x) на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка F'(x)=f (x).
      40. Любая первообразная для функции f (x) на заданном промежутке может быть записана в виде F (x)+C, где F (x)– одна из первообразных для функции f (x), а С – произвольная постоянная.
      41. Совокупность всех первообразных F (x)+C функции f (x) на рассматриваемом промежутке называется неопределенным интегралом и обозначается ∫f (x) dx, где f (x) – подынтегральная функция, f (x) dx — подынтегральное выражение, х – переменная интегрирования.
      42. 1) (∫f (x) dx)’=f (x); 2) d∫f (x) dx=f (x) dx; 3) ∫kf (x) dx=k·∫f (x) dx;

        4) ∫dF (x) dx=F (x)+C или ∫F'(x) dx=F (x)+C;

        5) ∫(f (x)±g (x)) dx=∫f (x) dx±∫g (x) dx;

        6) ∫f (kx+b) dx=(1/k)·F (kx+b)+C.

        Таблица интегралов.

        Объем тела вращения.

        Дорогие гости моего сайта, все основные формулы математики 7-11 вы можете получить (совершенно бесплатно), кликнув по ссылке.

        Всего там 431 формула и по алгебре и по геометрии. Полученный pdf файл советую распечатать в виде книжечки. Как это сделать — смотрите инструкцию здесь! Успешной вам учебы, друзья!

        www.mathematics-repetition.com

        Смотрите так же:

        • Законы ману называются так в честь кого Законы Ману — древнеиндийский сборник предписаний религиозного, морально-нравственного и общественного долга (дхармы), называемый также "закон ариев" или "кодекс чести ариев". Манавадхармашастра — одна из двадцати дхармашастр. Здесь представлены избранные фрагменты (перевод Георгия […]
        • Приказ минобрнауки россии от 26122013 1408 Приказ минобрнауки россии от 26122013 1408 МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ от 26 декабря 2013 г. N 1408 ОБ УТВЕРЖДЕНИИ ПРИМЕРНЫХ ПРОГРАММ ПРОФЕССИОНАЛЬНОГО ОБУЧЕНИЯ ВОДИТЕЛЕЙ ТРАНСПОРТНЫХ СРЕДСТВ СООТВЕТСТВУЮЩИХ КАТЕГОРИЙ И ПОДКАТЕГОРИЙ Во исполнение […]
        • Работа коменданта с проживанием Вакансии коменданта вахтовым методом Свежие вакансии комендант для работы вахтой и на постоянную занятость на 2017-2018 год. Официальное трудоустройство, заработная плата от 35000 руб в месяц и 55000 руб за вахту. Выберите подходящее предложение, чтобы найти работу уже сегодня. Как найти […]
        • Правила оформления рамки чертежей Правила оформления рамки чертежей Примечание. При необходимости допускается применять формат А5 с размерами сторон 148*210. Рис. 2. Лист формата А4 Рис. 3. Лист формата А3 Рис. 4. Складывание листа формата А3 по ГОСТ 2.501-88 Рис. 5. Основная надпись для чертежей и схем ГОСТ […]
        • Правила оформлення пояснювальної записки прикладная математика Вимоги до оформлення пояснювальної записки Пояснювальна записка до курсової роботи містить такі складові елементи: 1. Титульний аркуш.2. Реферат.3. Зміст.4. Завдання до курсової роботи або постановка задачі.5. Вступ.6. Теоретична частина.7. Опис програми: загальна […]
        • Пособие здравствуй мир 1 часть Здравствуй, мир. Окружающий мир. Ч. 1-2. Вахрушев А.А., Кочемасова Е.Е. М.: Ч.1 - 2009, 80с.; Ч.2 - 2012, 64с. Является начальным звеном непрерывного курса "Окружающий мир" для дошкольников и начальной школы и составной частью комплекта учебников и пособий для ДОУ, начальной и […]
        • Налог на домашних животных в рб Ставки налога за владение собаками Актуальная информация о максимальных ставках (размерах) налога за владение собаками в Беларуси. С а ставка налога за владение собаками в месяц установлена размере, не превышающем: – если собака из потенциально опасной породы. Обратите внимание, что […]
        • Правила знаков в скаде Вопросы и ответы - SCAD : Вопрос №1: Как соответствуют положения действующих строительных норм на территории стран СНГ с положениями, реализованными в программе SCAD и программах SCAD Office? Ответ №1: В программе SCAD и программах SCAD Office реализованы и сертифицированы положения […]