Функция распределения экспоненциального закона

Главная / Функция распределения экспоненциального закона

Теоретический материал по модулям «Теория вероятности и математическая статистика»

1.12.6. Экспоненциальное (показательное) распределение

Случайная величина X распределена по экспоненциальному закону спараметром . Если ее плотность распределения вероятностей задается формулой:

(1.12.12)

Функция распределения показательного закона:

(1.12.13)

Типичные примеры, где реализуется экспоненциальное распределение – теория обслуживания, при этом X — например, время ожидания при техническом обслуживании, и теория надежности, здесь X — например, срок службы радиоэлектронной аппаратуры.

Показательное распределение тесно связано с простейшим (пуассоновским) потоком событий (см. п. 1.12.2): интервал времени T между двумя соседними событиями в простейшем потоке имеет показательное распределение с параметром, равным интенсивности потока:

(t > 0).

Основные характеристики показательного распределения:

(1.12.14)

ПРИМЕР 7. Время безотказной работы ЭВМ – случайная величина T , имеющая показательное распределение с параметром l = 5 (физический смысл величины l — среднее число отказов в единицу времени, не считая простоев ЭВМ для ремонта). Известно, что ЭВМ уже проработала без отказов время t. Найти при этих условиях плотность и функцию распределения времени, которое проработает ЭВМ после момента t до ближайшего отказа.

Решение. Так как простейший поток отказов не имеет последствия, вероятность появления хотя бы одного отказа на участке от t до t + t не зависит от того, появлялись ли отказы ранее момента t. Следовательно, подставив
l = 5 в соотношение (1.12.12) и в (1.12.13), получим:

.

.

Графики плотности и функции полученного показательного распределения изображены на рис. 1.12.6.

edu.tltsu.ru

Менеджерами не рождаются, менеджерами становятся

Равномерное и экспоненциальное распределения

Ранее мы изучили нормальное распределение (см. панель А на рис. 1). Рассмотрим теперь два других непрерывных распределения: равномерное и экспоненциальное. [1] Случайная величина имеет равномерное распределение, если вероятность того, что она принимает любое значение в интервале, ограниченном минимальным числом а и максимальным числом b, постоянна. Поскольку график плотности этого распределения имеет вид прямоугольника, равномерное распределение иногда называют прямоугольным (см. панель Б на рис. 1).

Рис. 1. Три непрерывных распределения

Скачать заметку в формате Word или pdf, примеры в формате Excel2013

Функция плотности равномерного распределения задается формулой:

где а — минимальное значение переменной X, b — максимальное значение переменной X.

Математическое ожидание равномерного распределения:

Дисперсия равномерного распределения:

Стандартное отклонение равномерного распределения:

Чаще всего равномерное распределение используется для выбора случайных чисел. При осуществлении простого случайного выбора предполагается, что каждое число извлекается из генеральной совокупности, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1. Вычислим вероятность извлечь случайное число, превышающее 0,1 и меньше 0,3.

График функции плотности равномерного распределения для а = 0 и b = 1 изображен на рис. 2. Общая площадь прямоугольника, ограниченного этой функцией, равна единице. Следовательно, этот график удовлетворяет требованию, согласно которому, площадь фигуры, ограниченной графиком плотности любого распределения, должна равняться единице. Площадь прямоугольника, заключенная между числами 0,1 и 0,3, равна произведению длин его сторон, т.е. 0,2 х 1 = 0,2. Итак, Р(0,1 –λ x

где е — основание натурального логарифма, равное 2,71828, λ – среднее количество запросов, поступающих в систему за единицу времени, X – значение непрерывной величины, 0 –20*0,1 = 0,8647

Таким образом, вероятность, что следующий клиент придет в течение 6 мин, равна 86,47%. Экспоненциальное распределение можно вычислить с помощью функции Excel =ЭКСП.РАСП() (рис. 3).

Рис. 3. Расчет экспоненциального распределения с помощью функции =ЭКСП.РАСП()

[1] Используются материалы книги Левин и др. Статистика для менеджеров. – М.: Вильямс, 2004. – с. 379–383

baguzin.ru

Экспоненциальное распределение и его свойства

Экспоненциальное распределение играет важную роль в задачах телекоммуникации, так как позволяет моделировать интервалы времени между наступлением событий.

Из экспоненциальных величин строятся другие важные величины, например, случайные величины, имеющие распределение Эрланга.

Мы говорим, что случайная величина имеет экспоненциальное (показательное) распределение, если

(0)

Пусть – время ожидания события, тогда из формулы (0) следует, что вероятность того, что это событие наступит раньше x равна . Этот удобный формализм позволяет описывать моменты возникновения случайных событий.

Параметр λ оценивается на основе реальных данных.

Плотность экспоненциального распределения имеет вид

, (1)

где λ>0 —положительная постоянная, называемая параметром экспоненциального распределения.

Заметьте, экспоненциальное распределение сосредоточено на положительной полуоси.

Экспоненциальная случайная величина принимает положительные значения.

Среднее значение равно

Дисперсия равна

Из формулы (0) следует:

Иными словами, вероятность того, что следующее событие наступит через время больше , равна

Основные свойства экспоненциального распределения

Свойство отсутствия последействия:

Пусть — экспоненциальная случайная величина с плотностью вида (1).

Тогда (2)

при всех x≥0 и t≥0.

Равенство (2) означает следующее.

Пусть некоторая элементарная операция (например, телефонный разговор) имеет случайную длительность с экспоненциальным распределением.

Пусть, далее, известно, что до момента данная операция продолжалась в течение t единиц времени.

Тогда остаток от момента до момента окончания операции имеет экспоненциальное распределение с параметром λ независимо от t.

Это важнейшее свойство экспоненциального распределения называется отсутствием последействия.

Отсутствие последействия называется также Марковским свойством.

Именно в силу этого свойства экспоненциальные модели имеют довольно простое аналитическое решение.

При малых положительных h: (3)

Действительно, по формуле Тейлора имеем:

.

Равенство (3) можно объяснить так.

Пусть в момент длится некоторая операция, имеющая случайную длительность с плотностью задаваемой формулой (1).

Тогда вероятность окончания данной операции в данном интервале ( t0, t0+h) равна .

Пусть в момент длятся n операций.

Рассмотрим случайные величины , где — время от момента до момента окончания i-ой фазы из этих операций, 1≤i≤n.

Если величины независимы и имеют экспоненциальное распределение с параметрами , 1≤i≤n, то:

а) имеет экспоненциальное распределение с параметром ;

б) если известно, что , то не зависимо от t≥0

, (4)

Доказательство

— свойство а) доказано.

В то же время (7)

Подставим выражения (6) и (7) в равенство (5), получим формулу (4).

Таким образом, утверждение б) также доказано.

Пусть выполнены те же условия, что и в формулировке предыдущего свойства.

Обозначим через число операций, которые закончатся в интервале ( t0, t0+h).

, (8)

, (9)

, (10)

, (11)

Доказательство. Событие ( ) эквивалентно событию , откуда

,

т.е. справедливость формулы (8) доказана.

Событие ( ) противоположно событию , откуда

— получена формула (10).

Далее можно записать , откуда

— формула (9) доказана.

Наконец, ,

откуда .

Подставляя в это равенство соотношения (9) и (10), найдем

.

Справедливость формулы (11) так же установлена.

При доказательстве формул дважды использована формула

.

Разумеется, следует проверить несовместимость событий .

В рассмотренных случаях она непосредственно очевидна.

Пусть выполнены условия предыдущего пункта и в момент окончания i-ой операции начинается одна или несколько новых операций, длительности которых независимы между собой, не зависят от ( ) и имеют экспоненциальное распределение.

Тогда если обозначить через общее число операций (длившихся в момент t0 и начавшихся в интервале ( t0, t0+h)), которые закончились до момента t0+h, то справедливы формулы (8) — (11).

Для доказательства, в дополнении к предыдущему, остаточно заметить, что событие ( ) сводится к выполнению одного или конечного числа неравенств вида , где , — независимые экспоненциально распределенные величины.

Имеем ,

где — параметры распределения , . Отсюда же следует что .

Пусть операция начинается в момент t0 и состоит в выполнении некоторой случайной работы , причем темп выполнения работы в момент t равен ά(t), t≥t0 , где ά(t) — интегрируемая неотрицательная функция.

Обозначим через время от момента t0 до момента окончания операции.

Тогда если случайная величина распределена по экспоненциальному закону с параметром λ, то

(12)

За время от t0 до t0+t может быть выполнено , ед. работы.

Значит, операции закончится за время, меньше t, при условии что .

.

В заключение сделаем замечание и дадим ряд задач для лучшего понимания свойств экспоненциальных величин.

Замечание

В случае дискретного времени аналогом экспоненциальной величины является геометрическая величина (случайная величина, имеющая геометрическое распределение).

Задача 1. Найти распределение максимума двух независимых экспоненциальных величин.

Задача 2. Найти распределение минимума двух независимых экспоненциальных величин.

Задача 3. Найти распределение суммы k независимых экспоненциальных величин.

statistica.ru

Функция распределения экспоненциального закона

Свойство 2. Математическое ожидание случайной показательной случайной величины определяется по формуле

.

Свойство 3. Дисперсия случайной величины показательной случайной величины определяется по формуле

.

Доказательство. Воспользовавшись формулой для вычисления дисперсии непрерывной случайной величины

,

Свойство 4. Среднее квадратическое отклонение случайной величины показательной случайной величины вычисляется по формуле

.

Доказательство. Так как среднее квадратическое отклонение

,

то среднее квадратическое отклонение для равномерно распределенной случайной величины находим

5. Нормальный закон распределения.

Нормальный закон распределения наиболее часто встречается на практике, Главная особенность, выделяющая его среди других законов, состоит в том, что он является предельным законом, к которому приближаются другие законы распределения при весьма часто встречающихся типичных условиях.

Определение. Непрерывная случайная величина имеет нормальный закон распределения или закон распределения Гаусса с параметрами и, если ее плотность распределения вероятности имеет вид

.

Кривую нормального закона распределения называют нормальной или гауссовой кривой.

Выясним прежде всего теоретико-вероятностный смысл параметров нормального закона распределения.

Теорема. Если случайная величина распределена по нормальному закону, то

1) математическое ожидание случайной величины равно параметруэтого закона, т.е.

,

2) средне квадратическое отклонение случайной величины равно параметруэтого закона, т.е.

.

studfiles.net

Экспоненциальный закон распределения.

Экспоненциальный закон один из основных законов распределения длительности срока службы технических устройств. В частности, этому закону следует время наработки до отказа некоторых неремонтируемых изделий и наработка между отказами ремонтируемых изделий при их работе на установившихся режимах (для внезапных отказов, не связанных с износом или старением элементов изделия). Это распределение характерно также для отказа сложных систем, состоящих из однотипных деталей.

В качестве основного параметра экспоненциального распределения является интенсивность отказов λ(t) для неремонтируемых, и параметр потока отказов ω(t) — для ремонтируемых изделий. Для неремонтируемых изделий λ(t) показывает, какая доля работающих в момент времени изделий выходит из строя в единицу времени после момента t.

Принимая в качестве случайной переменной величины время и считая

λ = const можно выразить плотность распределения длительности срока службы (наработки):

Функция экспоненциального распределения определяется из уравнения:

Рис. . График экспоненциальной функции

Т.к. F(t)=1-P(t), основное уравнение надежности будет иметь вид:

На практике часто бывает так, что экспоненциальный закон не имеет места (λ≠const), однако и в этом случае его можно применить для ограниченных отрезков времени.

Данное допущение оправдывается тем, что при ограниченном периоде времени переменную интенсивность отказов, без большой ошибки, можно заменить средним значением λср, т.е.:

poznayka.org

Смотрите так же:

  • Идеальный газ Основные законы идеальных газов Идеальный газ Основные законы идеальных газов Изопроцессы идеального газа – процессы, при которых один из параметров остаётся неизменным. 1. Изохорический процесс. Закон Шарля. V = const. Изохорическим процессом называется процесс, протекающий при постоянном объёме V. Поведение газа […]
  • Владикавказ гибдд штрафы Штрафы гибдд реквизиты Например если водитель проехал на красный свет то штраф от 1 до 5 базовых. Административного штрафа Штрафы гибдд реквизиты в размере тридцати тысяч рублей, либо административный арест Штрафы гибдд реквизиты на срок до пятнадцати суток, либо обязательные работы на […]
  • Первый и второй закон кпд Рефераты и конспекты лекций по географии, физике, химии, истории, биологии. Универсальная подготовка к ЕГЭ, ГИА, ЗНО и ДПА! Физика - рефераты, конспекты, шпаргалки, лекции, семинары Второй закон термодинамики. КПД тепловых машин Утверждение, выражаемое записью, есть одна из формулировок […]
  • Вакансии юриста на севере Газпром вакансии вахта север Вакансии: рабочие и специалисты узкого профиля Уровень з/п: от 190 000 рублей Проекты: работа на севере вахтовым методом, программа газификации «Сахалин II», потоки «Южный» и «Голубой», а также другие. Широко известная и зарекомендовавшая себя как надежный […]
  • Законы кинетики Основной закон химической кинетики. Порядок и молекулярность реакции Реакция, протекающая в результате прямого превращения молекул исходных веществ в молекулы продуктов реакции, называется элементарной. Элементарная реакция состоит из большого числа однотипных элементарных актов […]
  • Расчет осаго в октябре 2014 После повышения тарифов ОСАГО в октябре 2014 года и в апреле 2015 года средняя стоимость страховых полисов увеличилась более чем на 2 тыс. руб. По итогам II квартала 2015 года средняя стоимость полиса ОСАГО составила 5691 руб. При этом до 1 октября 2014 года этот показатель был равен […]
  • Адвокаты в мегионе Бесплатная юридическая помощь Бесплатная юридическая помощь населению города Каждый человек сталкивается с необходимостью решать какие-либо правовые вопросы, лишь после невозможности самостоятельно разобраться во всех юридических коллизиях, люди понимают, что помощь юриста жизненно […]
  • Пенсии инвалидам военной травмы в 2014 году Инвалиды военной травмы сохранят право на компенсацию, даже если получают повышенную пенсию за службу в ОВД Инвалиды вследствие военной травмы сохранят право на ежемесячную компенсацию, предусмотренную ст. 3 Федерального закона от 7 ноября 2011 г. № 306-ФЗ "О денежном довольствии […]